Как определить длину большего катета прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиусом корень из

Putnik_Sudby

68

Для решения данной задачи, давайте разберем ее по шагам:

Шаг 1: Постановка задачи
Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, вписанный в окружность с радиусом \(\sqrt{3}\). Один из катетов находится в \(\sqrt{3}\) раза ближе к центру окружности, чем другой катет. Наша задача - определить длину большего катета.

Шаг 2: Обозначения
Давайте обозначим меньший катет как \(x\), а больший катет как \(y\).

Шаг 3: Свойства прямоугольного треугольника
Известно, что в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна удвоенному радиусу окружности, в которую этот треугольник вписан. Радиус окружности у нас равен \(\sqrt{3}\), поэтому гипотенуза равна \(2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).

Шаг 4: Применение теоремы Пифагора
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть \(x^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12\).

Шаг 5: Установление соотношения между x и y
Из условия задачи мы знаем, что один катет находится в \(\sqrt{3}\) раза ближе к центру окружности, чем другой катет. Мы можем это выразить уравнением: \(y = x\sqrt{3}\).

Шаг 6: Подстановка y в уравнение Пифагора
Теперь мы можем подставить \(x\sqrt{3}\) вместо \(y\) в уравнение Пифагора: \(x^2 + (x\sqrt{3})^2 = 12\).

Шаг 7: Решение уравнения
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
\(x^2 + 3x^2 = 12\) \(\Rightarrow\) \(4x^2 = 12\).
Разделим обе части на 4: \(x^2 = 3\).

Извлекая корень из обеих сторон уравнения, получаем: \(x = \sqrt{3}\).

Шаг 8: Вычисление значения y
Теперь, когда мы знаем, что \(x = \sqrt{3}\), мы можем вычислить \(y\) согласно уравнению \(y = x\sqrt{3}\). Подставим известное значение \(x\) в это уравнение:
\(y = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\).

Таким образом, длина большего катета \(y\) равна 3.