Каково расстояние d от точки P(-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через три точки М(1; -1; 1), M(-2

Скользящий_Тигр

7

Для того чтобы найти расстояние от точки до плоскости, мы можем использовать формулу, которую называют формулой расстояния от точки до плоскости.

Формула расстояния d от точки P(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 выглядит следующим образом:
\[d = \frac{{|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

В данном случае, нам дана точка P(-1, 1, -2) и плоскость, проходящая через три точки M₁(1, -1, 1), M₂(-2, 2, -1) и M₃(3, -3, 2). Наша задача - найти расстояние от точки P до этой плоскости.

Чтобы использовать формулу расстояния, нам нужно найти коэффициенты A, B, C и D плоскости. Мы можем найти их, используя точки M₁, M₂ и M₃.

Шаг 1: Найдем векторы \(\overrightarrow{M_1M_2}\) и \(\overrightarrow{M_1M_3}\).
\(\overrightarrow{M_1M_2} = M_2 - M_1 = (-2 - 1, 2 - (-1), -1 - 1) = (-3, 3, -2)\)
\(\overrightarrow{M_1M_3} = M_3 - M_1 = (3 - 1, -3 - (-1), 2 - 1) = (2, -2, 1)\)

Шаг 2: Найдем векторное произведение векторов \(\overrightarrow{M_1M_2}\) и \(\overrightarrow{M_1M_3}\).
\(\overrightarrow{N} = \overrightarrow{M_1M_2} \times \overrightarrow{M_1M_3} = det\begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix} = \hat{i}(3(1) + (-2)(-2)) - \hat{j}((-3)(1) + 2(2)) + \hat{k}(-3(-2) - 2(3)) = (-5, -7, 4)\)

Шаг 3: Записываем уравнение плоскости, используя найденный вектор \(\overrightarrow{N}\) и одну из точек M₁.
Уравнение плоскости: \(-5x - 7y + 4z + D = 0\)

Шаг 4: Найдем D, подставив координаты M₁ в уравнение плоскости.
\(-5(1) - 7(-1) + 4(1) + D = 0\)
\(-5 + 7 + 4 + D = 0\)
\(6 + D = 0\)
\(D = -6\)

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки M₁, M₂ и M₃, имеет вид:
\(-5x - 7y + 4z - 6 = 0\)

Шаг 5: Подставим координаты точки P(-1, 1, -2) в формулу расстояния от точки до плоскости.
\[d = \frac{{|-5(-1) - 7(1) + 4(-2) - 6|}}{{\sqrt{{(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2}}}} = \frac{{|5 - 7 - 8 - 6|}}{{\sqrt{{25 + 49 + 16}}}} = \frac{{|-16|}}{{\sqrt{{90}}}} = \frac{{16}}{{3\sqrt{{10}}}}\]

Итак, расстояние d от точки P(-1, 1, -2) до плоскости, проходящей через точки M₁(1, -1, 1), M₂(-2, 2, -1) и M₃(3, -3, 2), равно \(\frac{{16}}{{3\sqrt{{10}}}}\).