Как определить наибольшую сумму коэффициентов уравнения x² + bx + c = 0, если корнями являются два числа

Фонтан

70

Для решения этой задачи, нам нужно начать с того, что подставим любое число из последовательности целых чисел, меньших 1000 по модулю, в уравнение \(x^2 + bx + c = 0\) и посмотрим, что получится.

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) являются корнями этого уравнения. Мы знаем, что каждый корень должен входить в уравнение только один раз. То есть, если \(x_1\) является корнем, то \(x_2\) не может быть корнем и наоборот.

Теперь давайте подставим \(x = x_1\) в уравнение:
\[x_1^2 + bx_1 + c = 0\]

Теперь подставим \(x = x_2\) в уравнение:
\[x_2^2 + bx_2 + c = 0\]

Мы знаем, что последовательность целых чисел, меньших 1000 по модулю, является ограниченной, поэтому наибольшая сумма коэффициентов \(b\) и \(c\) будет иметь место, когда мы возьмем наибольшие по модулю корни \(x_1\) и \(x_2\).

Поскольку \(1001\) является концом последовательности, \(x_2\) может быть равен \(1001\), а \(x_1\) будет равен числу, предшествующему \(1001\) в последовательности целых чисел по модулю. То есть, \(x_1 = 1000\), так как это наибольшее число по модулю.

Теперь подставим \(x_1 = 1000\) и \(x_2 = 1001\) в уравнение:
\[1000^2 + b(1000) + c = 0\]
\[1001^2 + b(1001) + c = 0\]

Здесь мы получили два уравнения с двумя неизвестными \(b\) и \(c\). Мы хотим найти наибольшую сумму \(b\) и \(c\), поэтому нам нужно искать такие значения \(b\) и \(c\), которые сделают сумму \((b + c)\) максимальной.

Если вычтем первое уравнение из второго, получим:
\[1001^2 - 1000^2 + b(1001 - 1000) + (c - c) = 0\]
\[1001 + b = 0\]

Отсюда следует, что \(b = -1001\).

Теперь, подставив \(b = -1001\) в любое из двух первоначальных уравнений, мы можем найти значение \(c\). Для простоты выберем первое уравнение:
\[1000^2 - 1001(1000) + c = 0\]
\[1000^2 - 1001000 + c = 0\]

Решая это уравнение, мы находим, что \(c = 1001000 - 1000^2\) или \(c = -999000\).

Таким образом, наибольшая сумма коэффициентов уравнения будет равна \((-1001) + (-999000) = -1001001\).

Вот и все! Наибольшая сумма коэффициентов составляет \(-1001001\).