Как определить период колебания груза на прямой, если его скорость составляет 4 см/с при расстоянии от положения

Корова

20

Для определения периода колебания груза на прямой необходимо использовать формулу для периода гармонического колебания:

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

где \(T\) - период колебания, а \(\omega\) - циклическая частота колебаний.

Чтобы найти циклическую частоту, необходимо знать ускорение \(a\) груза при данном его отклонении \(x\) от положения равновесия. Зная, что производная скорости по времени равна ускорению, можно записать уравнение \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\).

По условию задачи мы знаем, что скорость равна 4 см/с при отклонении груза на 5 см, и скорость равна 5 см/с при отклонении груза на другое значение \(x\). Используя это, мы можем записать следующие уравнения:

\[4 = -\omega \cdot 5\]
\[5 = -\omega \cdot x\]

Решая эти уравнения, мы найдем значение циклической частоты \(\omega\), после чего сможем найти период колебания \(T\).

Давайте найдем решение к этой задаче шаг за шагом:

1. Решим первое уравнение:

\[-\omega \cdot 5 = 4\]
\[\omega = \frac{4}{-5}\]
\[\omega = -\frac{4}{5}\]

2. Решим второе уравнение с полученным значением \(\omega\):

\[-\frac{4}{5} \cdot x = 5\]
\[x = \frac{5}{-\frac{4}{5}}\]
\[x = -\frac{25}{4}\]

Таким образом, получаем, что \(x = -\frac{25}{4}\) см.

3. Теперь, зная циклическую частоту \(\omega\) и отклонение \(x\), можем найти период колебаний \(T\):

\[T = \frac{2\pi}{-\frac{4}{5}}\]
\[T = -\frac{10\pi}{4}\]
\[T = -\frac{5\pi}{2}\]

Таким образом, период колебания груза на прямой равен \(T = -\frac{5\pi}{2}\) секунд, а отклонение груза от положения равновесия составляет \(x = -\frac{25}{4}\) см.

Обратите внимание, что значение периода отрицательное. В данном случае отрицательность означает, что груз движется в обратном направлении относительно своего начального положения при отклонении.