Как получить приближенное значение арктангенса (7,02/6,97)?

Eva

26

Хорошо, чтобы получить приближенное значение арктангенса отношения \(\frac{7.02}{6.97}\), мы можем использовать тейлоровское разложение арктангенса. Такое разложение позволяет нам приближенно вычислить значение функции вблизи нуля.

Тейлоровское разложение арктангенса выглядит следующим образом:

\[
\tan^{-1}(x) = x - \frac{{x^3}}{3} + \frac{{x^5}}{5} - \frac{{x^7}}{7} + \ldots
\]

Для заданной величины \(x = \frac{7.02}{6.97}\), мы можем вычислить ее приближенное значение, используя первые несколько членов ряда:

\[
\tan^{-1}\left(\frac{7.02}{6.97}\right) \approx \frac{7.02}{6.97} - \frac{{\left(\frac{7.02}{6.97}\right)^3}}{3} + \frac{{\left(\frac{7.02}{6.97}\right)^5}}{5}
\]

\[
- \frac{{\left(\frac{7.02}{6.97}\right)^7}}{7}
\]

Нам нужно только округлить окончательный ответ до приемлемого числа знаков после запятой, чтобы облегчить понимание результата. Давайте вычислим это:

\[
\tan^{-1}\left(\frac{7.02}{6.97}\right) \approx \frac{7.02}{6.97} - \frac{{\left(\frac{7.02}{6.97}\right)^3}}{3} + \frac{{\left(\frac{7.02}{6.97}\right)^5}}{5}
\]

\[
- \frac{{\left(\frac{7.02}{6.97}\right)^7}}{7} \approx 1.0042262614
\]

Таким образом, приближенное значение арктангенса отношения \(\frac{7.02}{6.97}\) составляет приблизительно 1.0042.