Как построить графики функций x(t)=2t и x(t)=60-4t? Как найти время и место встречи, исходя из графиков и уравнений?

Шоколадный_Ниндзя_472

19

Чтобы построить графики функций \(x(t) = 2t\) и \(x(t) = 60 - 4t\), мы можем использовать координатную плоскость. Представим \(x\) на горизонтальной оси, а \(t\) на вертикальной оси. Затем, подставляя различные значения \(t\) в уравнения, мы найдем соответствующие значения \(x\) и отметим их на графике.

Давайте начнем с первой функции \(x(t) = 2t\). Для начала, построим таблицу значений, подставляя различные значения \(t\) и находя соответствующие значения \(x\). Возьмем \(t = 0, 1, 2, 3, -1, -2, -3\), и так далее:

\[
\begin{align*}
t & : 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & -2 & -3 \\
x(t) & : 0 & 2 & 4 & 6 & -2 & -4 & -6 \\
\end{align*}
\]

Теперь отметим эти точки на графике:

\[
\begin{align*}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={t},
ylabel={x},
axis lines=middle,
xmin=-4, xmax=4,
ymin=-8, ymax=8,
xtick={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3},
ytick={-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6},
xticklabels={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3},
yticklabels={-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6},
scale=1.5,
grid=both,
grid style={line width=.3pt, draw=gray!40},
major grid style={line width=0.6pt,draw=gray!60},
]
\addplot[color=blue,mark=*] coordinates {
(0, 0)
(1, 2)
(2, 4)
(3, 6)
(-1, -2)
(-2, -4)
(-3, -6)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{align*}
\]

Таким образом, график функции \(x(t) = 2t\) будет прямой линией, проходящей через точки, которые мы отметили на координатной плоскости.

Теперь давайте перейдем к построению графика второй функции \(x(t) = 60 - 4t\). Аналогично, используем таблицу значений и отметим соответствующие точки на графике:

\[
\begin{align*}
t & : 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & -2 & -3 \\
x(t) & : 60 & 56 & 52 & 48 & 64 & 68 & 72 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={t},
ylabel={x},
axis lines=middle,
xmin=-4, xmax=4,
ymin=-10, ymax=80,
xtick={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3},
ytick={0, 20, 40, 60},
xticklabels={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3},
yticklabels={0, 20, 40, 60},
scale=1.5,
grid=both,
grid style={line width=.3pt, draw=gray!40},
major grid style={line width=0.6pt,draw=gray!60},
]
\addplot[color=red,mark=*] coordinates {
(0, 60)
(1, 56)
(2, 52)
(3, 48)
(-1, 64)
(-2, 68)
(-3, 72)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{align*}
\]

Таким образом, график функции \(x(t) = 60 - 4t\) также является прямой линией, проходящей через точки на координатной плоскости.

Чтобы найти время и место встречи по графикам и уравнениям, мы должны найти точку, в которой графики пересекаются. Это означает, что значения \(x(t)\) для обеих функций должны быть одинаковыми на одном и том же \(t\):

\[
2t = 60 - 4t
\]

Решив это уравнение, мы найдем значение \(t\), а затем сможем найти соответствующее значение \(x\). Проведем несколько шагов для решения:

\[
\begin{align*}
2t + 4t &= 60 \\
6t &= 60 \\
t &= \frac{60}{6} \\
t &= 10
\end{align*}
\]

Таким образом, время встречи равно 10.

Чтобы найти место встречи, можем подставить \(t = 10\) в уравнение одной из двух функций:

\[
\begin{align*}
x(10) &= 2 \cdot 10 \\
x(10) &= 20
\end{align*}
\]

Или

\[
\begin{align*}
x(10) &= 60 - 4 \cdot 10 \\
x(10) &= 60 - 40 \\
x(10) &= 20
\end{align*}
\]

Таким образом, место встречи равно 20.

Итак, время и место встречи, исходя из графиков и уравнений, будут следующими: время встречи составляет 10, а место встречи - 20.