Как провести 8 прямых и разместить на них 18 точек так, чтобы на каждой прямой было расположено точно 5 точек?

Космическая_Звезда

55

Данная задача на расстановку точек является классической задачей комбинаторики, которую можно решить с помощью применения математического метода под названием "графы".

Для начала, мы можем представить наши прямые в виде линий, размещенных горизонтально. Назовем эти прямые A, B, C, D, E, F, G и H.

Чтобы на каждой линии было ровно 5 точек, нам нужно найти способ распределить 18 точек среди этих 8 линий так, чтобы на каждой линии было 5 точек.

Давайте посмотрим на количество способов, которыми мы можем разместить точки на этих линиях:

- Если мы рассмотрим 8 линий по очереди, на каждой линии может быть 5 точек. Это означает, что всего у нас есть 5^8 = 390625 возможных комбинаций расстановки точек на этих линиях.

Однако, не все эти комбинации будут удовлетворять условию того, что на каждой линии должно быть ровно 5 точек. Для нас необходимо найти такие комбинации, которые удовлетворяют условию задачи.

Другими словами, нужно найти комбинации, в которых сумма точек на всех линиях равна 18 и каждая линия имеет ровно 5 точек.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторный подход.

Используя комбинаторные методы, мы можем найти количество способов разместить точки на линии так, чтобы на каждой линии было 5 точек.

Воспользуемся формулой "старший коэффициент при \(x^{18}\) в многочлене \((x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)^{8}\)". Эта формула поможет нам определить количество способов.

Рассчитаем этот коэффициент, поскольку он даст нам количество способов, удовлетворяющих требованиям задачи.

Раскрывая скобку \((x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)^{8}\) и выражая коэффициент при \(x^{18}\), мы получим:

\[{8 \choose 18} = \frac{8!}{18!(8-18)!} = \frac{8!}{18!*(-10)!} = \frac{8*7*6*5*4*3*2*1}{18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1*(-10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)}\]

Мы можем упростить эту формулу следующим образом:

\[{8 \choose 18} = \frac{8*7}{18*17*16*15*14*13*12*11*(-10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)} = \frac{8}{18*17*16*15*14*13*12*11*(-10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)}\]

Путем вычисления этого выражения, мы получаем значение:

\[{8 \choose 18} = \frac{8}{33522128640} = \frac{1}{4189766080}\]

То есть, существует только 1 способ осуществить рассматриваемое расположение точек на прямых так, чтобы на каждой прямой было ровно 5 точек.
Хотя теперь нам осталось лишь показать это правильное расположение точек.