Как провести плоскость ∑ , параллельную плоскости ∑(abcd) и имеющую площадь, равную половине площади плоскости

Yabloko

44

Для того чтобы провести плоскость \( \Sigma" \), параллельную плоскости \( \Sigma (abcd) \) и имеющую площадь, равную половине площади плоскости \( \Sigma (abcd) \), мы можем использовать следующий способ:

1. Пусть вектор \( \vec{n} \) задает заданную плоскость \( \Sigma (abcd) \), а точка \( A \) - любая точка в данной плоскости.

2. Так как мы хотим провести плоскость параллельно \( \Sigma (abcd) \), то вектор нормали \( \vec{n"} \) новой плоскости \( \Sigma" \) будет равен вектору нормали \( \vec{n} \) плоскости \( \Sigma (abcd) \).

3. Поскольку мы хотим, чтобы площадь \( \Sigma" \) была равна половине площади плоскости \( \Sigma (abcd) \), мы можем использовать формулу для расстояния между плоскостями:

\[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \],

где \( (a,b,c) \) - координаты вектора нормали плоскости, \( (x_1, y_1, z_1) \) - координаты точки \( A \), а \( d \) - свободный член уравнения плоскости.

4. Теперь, зная расстояние \( d \), можем определить новое значение свободного члена \( d" \) плоскости \( \Sigma" \) для получения плоскости, параллельной исходной и имеющей площадь, равную половине площади плоскости \( \Sigma (abcd) \).

Таким образом, следуя этим шагам, можно провести плоскость \( \Sigma" \), удовлетворяющую условиям задачи.