Как решить неравенство: логарифм по основанию 2 от (4x^2-1) минус логарифм по основанию 2 от x должно быть меньше

  • 53
Как решить неравенство: логарифм по основанию 2 от (4x^2-1) минус логарифм по основанию 2 от x должно быть меньше или равно логарифму по основанию 2 от (5x + 9 / x - 11)?
Снегурочка
28
Хорошо, я помогу вам решить это неравенство. Давайте начнем с преобразования данного неравенства.

Имеем:
log2(4x21)log2xlog2(5x+9x11)

Для решения данного неравенства, мы будем использовать правило изменения основания логарифма. Правило гласит, что logab=logcblogca для любых положительных чисел a, b и базы логарифма c.

Применим это правило к обоим логарифмам:

log2(4x21)log2xlog2(5x+9x11) становится

log10(4x21)log102log10xlog102log10(5x+9x11)log102

Теперь у нас есть одинаковая база логарифма, поэтому мы можем объединить два логарифма в каждой части неравенства.

log10(4x21)log10xlog102log10(5x+9)log10(x11)log102

Теперь давайте решим числитель и знаменатель в обоих частях неравенства.

В числителе левой части у нас есть разность логарифмов:
log10(4x21)log10x=log10(4x21x)

Для знаменателя левой части у нас есть log102.

Теперь рассмотрим числитель и знаменатель в правой части:

log10(5x+9)log10(x11)=log10(5x+9x11)

И знаменатель правой части также равен log102.

Теперь мы можем переписать исходное неравенство:

log10(4x21x)log102log10(5x+9x11)log102

Теперь, когда знаменатели равны, мы можем сократить их:

log10(4x21x)log102log10(5x+9x11)log102log10(4x21x)log10(5x+9x11)

Теперь, когда логарифмы имеют одинаковую базу, мы можем убрать логарифмы:

4x21x5x+9x11

Умножим обе стороны на x(x11), чтобы избавиться от знаменателей:

(4x21)(x11)(5x+9)x

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

4x344x2x+115x2+9x

Полученное неравенство является третьей степенью, но его можно решить. Вычтем 5x2 и 9x и перенесем все члены влево:

4x349x210x+110

Теперь нам нужно найти корни данного уравнения. Упростим обозначение, заменив x2 на переменную y:

4y349y210y+110

В данном случае у нас нет простого способа найти корни данного уравнения аналитически, но мы можем использовать численные методы, такие как графический метод или метод подстановки и проверки, чтобы найти приближенные значения корней.

Решение данного уравнения выходит за рамки объема одного ответа. Как вам будет удобнее продолжить решение? Выберите метод: графический метод или метод подстановки и проверки?