Как решить неравенство: логарифм по основанию 2 от (4x^2-1) минус логарифм по основанию 2 от x должно быть меньше

Снегурочка

28

Хорошо, я помогу вам решить это неравенство. Давайте начнем с преобразования данного неравенства.

Имеем:
$${\log }_2(4x^2-1)-{\log }_{2}x\le {\log }_2\left(\frac{5x+9}{x-11}\right)$$

Для решения данного неравенства, мы будем использовать правило изменения основания логарифма. Правило гласит, что ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ для любых положительных чисел $a$, $b$ и базы логарифма $c$.

Применим это правило к обоим логарифмам:

${\log }_2(4x^2-1)-{\log }_{2}x\le {\log }_2\left(\frac{5x+9}{x-11}\right)$ становится

$\frac{{\log }_{10}(4x^2-1)}{{\log }_{10}2}-\frac{{\log }_{10}x}{{\log }_{10}2}\le \frac{{\log }_{10}\left(\frac{5x+9}{x-11}\right)}{{\log }_{10}2}$

Теперь у нас есть одинаковая база логарифма, поэтому мы можем объединить два логарифма в каждой части неравенства.

$\frac{{\log }_{10}(4x^2-1)-{\log }_{10}x}{{\log }_{10}2}\le \frac{{\log }_{10}(5x+9)-{\log }_{10}(x-11)}{{\log }_{10}2}$

Теперь давайте решим числитель и знаменатель в обоих частях неравенства.

В числителе левой части у нас есть разность логарифмов:
${\log }_{10}(4x^2-1)-{\log }_{10}x={\log }_{10}\left(\frac{4x^2-1}{x}\right)$

Для знаменателя левой части у нас есть ${\log }_{10}2$.

Теперь рассмотрим числитель и знаменатель в правой части:

${\log }_{10}(5x+9)-{\log }_{10}(x-11)={\log }_{10}\left(\frac{5x+9}{x-11}\right)$

И знаменатель правой части также равен ${\log }_{10}2$.

Теперь мы можем переписать исходное неравенство:

$\frac{{\log }_{10}\left(\frac{4x^2-1}{x}\right)}{{\log }_{10}2}\le \frac{{\log }_{10}\left(\frac{5x+9}{x-11}\right)}{{\log }_{10}2}$

Теперь, когда знаменатели равны, мы можем сократить их:

$\frac{{\log }_{10}\left(\frac{4x^2-1}{x}\right)}{{\log }_{10}2}\le \frac{{\log }_{10}\left(\frac{5x+9}{x-11}\right)}{{\log }_{10}2}\Rightarrow {\log }_{10}\left(\frac{4x^2-1}{x}\right)\le {\log }_{10}\left(\frac{5x+9}{x-11}\right)$

Теперь, когда логарифмы имеют одинаковую базу, мы можем убрать логарифмы:

$\frac{4x^2-1}{x}\le \frac{5x+9}{x-11}$

Умножим обе стороны на $x(x-11)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$(4x^2-1)(x-11)\le (5x+9)x$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$4x^3-44x^2-x+11\le 5x^2+9x$

Полученное неравенство является третьей степенью, но его можно решить. Вычтем $5x^2$ и $9x$ и перенесем все члены влево:

$4x^3-49x^2-10x+11\le 0$

Теперь нам нужно найти корни данного уравнения. Упростим обозначение, заменив $x^2$ на переменную $y$:

$4y^3-49y^2-10y+11\le 0$

В данном случае у нас нет простого способа найти корни данного уравнения аналитически, но мы можем использовать численные методы, такие как графический метод или метод подстановки и проверки, чтобы найти приближенные значения корней.

Решение данного уравнения выходит за рамки объема одного ответа. Как вам будет удобнее продолжить решение? Выберите метод: графический метод или метод подстановки и проверки?