Как решить систему уравнений 33x + 42y = 10 и 9x + 14y = 4 методом сложения?

Yagodka_5294

62

Хорошо, давайте решим эту систему уравнений методом сложения. Этот метод основан на том, что мы будем складывать или вычитать уравнения из системы таким образом, чтобы одна переменная уходила. Затем мы сможем найти значение другой переменной и подставить его обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной.

Дано система уравнений:
\[\begin{align*}
33x + 42y &= 10 \quad \text{(1)} \\
9x + 14y &= 4 \quad \text{(2)}
\end{align*}\]

Наша цель - найти значения переменных \(x\) и \(y\).

Шаг 1: Умножим оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты перед одной из переменных в двух уравнениях совпадали по модулю, но различались знаками. Давайте умножим первое уравнение на 2 и второе уравнение на 3. Получим:

\[\begin{align*}
66x + 84y &= 20 \quad \text{(3)} \\
27x + 42y &= 12 \quad \text{(4)}
\end{align*}\]

Шаг 2: Вычтем уравнение (4) из уравнения (3), чтобы получить новое уравнение, в котором одна переменная исчезнет:

\[(66x + 84y) - (27x + 42y) = 20 - 12\]

Упростим:

\[66x - 27x + 84y - 42y = 8\]

\[39x + 42y = 8 \quad \text{(5)}\]

Теперь у нас есть новое уравнение (5), в котором только переменная \(x\).

Шаг 3: Решаем новую систему из уравнений (2) и (5). Поставим их рядом:

\[\begin{align*}
9x + 14y &= 4 \quad \text{(2)} \\
39x + 42y &= 8 \quad \text{(5)}
\end{align*}\]

Шаг 4: Умножим первое уравнение на 3:

\[27x + 42y = 12 \quad \text{(6)}\]

Шаг 5: Вычтем уравнение (6) из уравнения (5):

\[(39x + 42y) - (27x + 42y) = 8 - 12\]

Упростим:

\[39x - 27x + 42y - 42y = -4\]

\[12x = -4\]

Шаг 6: Решим полученное уравнение относительно \(x\):

\[x = \frac{-4}{12}\]

Упростим:

\[x = -\frac{1}{3}\]

Шаг 7: Подставим значение \(x\) в одно из исходных уравнений, например, в уравнение (2):

\[9\left(-\frac{1}{3}\right) + 14y = 4\]

Упростим:

\[-3 + 14y = 4\]

\[14y = 4 + 3\]

\[14y = 7\]

\[y = \frac{7}{14}\]

Упростим:

\[y = \frac{1}{2}\]

Таким образом, решение системы уравнений состоит в значениях \(x = -\frac{1}{3}\) и \(y = \frac{1}{2}\). Теперь мы можем проверить это, подставив найденные значения переменных в исходные уравнения (1) и (2), чтобы убедиться, что они выполняются.