Как решить уравнение x^2-12+36/x^2+2(x/2-3/x)=0?

Пламенный_Демон

10

Хорошо! Давайте решим это уравнение по шагам.

1. Сначала нам нужно привести уравнение к общему знаменателю. У нас есть дробь \(\frac{{36}}{{x^2}}\) внутри скобок, поэтому домножим все члены уравнения на \(x^2\) для устранения дроби:

\[x^2(x^2 - 12) + 36 + 2(x/2 - 3/x)x^2 = 0\]

2. Раскроем скобки:

\[x^4 - 12x^2 + 36 + 2\left(\frac{{x}}{{2}} - \frac{{3}}{{x}}\right)x^2 = 0\]

3. Упростим дробь во втором слагаемом:

\[x^4 - 12x^2 + 36 + 2\left(\frac{{x^2 - 6}}{{2}}\right)x^2 = 0\]

4. Теперь раскроем скобку во втором слагаемом:

\[x^4 - 12x^2 + 36 + (x^2 - 6)x^2 = 0\]

5. Продолжим упрощение:

\[x^4 - 12x^2 + 36 + x^4 - 6x^2 = 0\]

6. Соберем одинаковые члены:

\[2x^4 - 18x^2 + 36 = 0\]

7. Давайте заменим переменную \(y\) на \(x^2\), чтобы упростить уравнение:

\[2y^2 - 18y + 36 = 0\]

8. Решим получившееся квадратное уравнение при помощи формулы дискриминанта. Вычислим дискриминант \(D\):

\[D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \times 2 \times 36 = 324 - 288 = 36\]

9. Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня:

\[y_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-(-18) + \sqrt{36}}}{{2 \times 2}} = \frac{{18 + 6}}{{4}} = 6\]
\[y_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-(-18) - \sqrt{36}}}{{2 \times 2}} = \frac{{18 - 6}}{{4}} = 3\]

10. Вернемся к нашей переменной \(x\). Подставим найденные значения \(y_1\) и \(y_2\) обратно в уравнение \(y = x^2\):

\[x_1^2 = 6 \rightarrow x_1 = \sqrt{6} \approx -2.45 \quad \text{(приближенное значение)}\]
\[x_2^2 = 3 \rightarrow x_2 = \sqrt{3} \approx -1.73 \quad \text{(приближенное значение)}\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 12 + \frac{{36}}{{x^2}} + 2(x/2 - \frac{{3}}{{x}}) = 0\) равны \(x_1 \approx -2.45\) и \(x_2 \approx -1.73\).

Надеюсь, это решение будет понятно школьнику! Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.