Как вы построите график функции y=ctg(x+pi/4)?

Луна

37

Чтобы построить график функции \(y = \cot(x + \frac{\pi}{4})\), мы должны взглянуть на ее основные характеристики и использовать их для построения графика. Давайте начнем!

Шаг 1: Определение периода
Функция \(\cot(x + \frac{\pi}{4})\) базируется на котангенсе исходного выражения \(x + \frac{\pi}{4}\). Период функции \(\cot(x)\) равен \(\pi\), то есть функция повторяется каждые \(\pi\) единиц. Однако, мы добавляем \(\frac{\pi}{4}\) к аргументу \(x\), поэтому период функции \(\cot(x + \frac{\pi}{4})\) будет также равен \(\pi\).

Шаг 2: Определение асимптот
Котангенс является периодической функцией и имеет вертикальные асимптоты в точках, где аргумент равен \((n + \frac{1}{2})\pi\), где \(n\) - целое число. В нашем случае, так как мы добавляем \(\frac{\pi}{4}\) к аргументу, наши вертикальные асимптоты будут находиться в точках \((n + \frac{1}{2})\pi - \frac{\pi}{4}\).

Шаг 3: Построение графика
Для построения графика функции \(y = \cot(x + \frac{\pi}{4})\), нам потребуется некоторое количество точек, чтобы примерно представить форму функции. Мы можем использовать полученные нами сведения и таблицу значений для построения графика.

Давайте возьмем несколько значений для аргумента \(x\) и вычислим соответствующие значения функции \(y\):

\[
\begin{align*}
x &= -\frac{3}{4}\pi, \quad y = \cot(-\frac{3}{4}\pi + \frac{\pi}{4}) \\
x &= -\frac{1}{2}\pi, \quad y = \cot(-\frac{1}{2}\pi + \frac{\pi}{4}) \\
x &= -\frac{1}{4}\pi, \quad y = \cot(-\frac{1}{4}\pi + \frac{\pi}{4}) \\
x &= 0, \quad y = \cot(0 + \frac{\pi}{4}) \\
x &= \frac{1}{4}\pi, \quad y = \cot(\frac{1}{4}\pi + \frac{\pi}{4}) \\
x &= \frac{1}{2}\pi, \quad y = \cot(\frac{1}{2}\pi + \frac{\pi}{4}) \\
x &= \frac{3}{4}\pi, \quad y = \cot(\frac{3}{4}\pi + \frac{\pi}{4})
\end{align*}
\]

Также, обратите внимание на вертикальные асимптоты в точках \((n + \frac{1}{2})\pi - \frac{\pi}{4}\), которые мы обсудили ранее.

Подставляя значения и вычисляя, мы получаем следующие точки для построения графика:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-\frac{3}{4}\pi & 0 \\
-\frac{1}{2}\pi & 1 \\
-\frac{1}{4}\pi & \infty \\
0 & 1 \\
\frac{1}{4}\pi & 0 \\
\frac{1}{2}\pi & -1 \\
\frac{3}{4}\pi & \infty \\
\hline
\end{array}
\]

Построим эти точки на координатной плоскости и соединим их гладкой кривой. Таким образом, получим график функции \(y = \cot(x + \frac{\pi}{4})\).

\[ \text{Вставка графика функции y = cot(x + $\frac{\pi}{4}$) } \]

Теперь, школьник может легко визуализировать график функции \(y = \cot(x + \frac{\pi}{4})\) и использовать его в дальнейших расчетах или задачах.