Как выразить вектор dr через векторы da = a, db = b, dc в тетраэдре dabc, где точка p - середина ребра ab, а точка

Mihaylovich

1

Для нахождения выражения вектора \(\overrightarrow{dr}\) через векторы \(\overrightarrow{da} = \overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{db} = \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{dc}\) в тетраэдре \(\Delta ABCD\), где точка \(P\) - середина ребра \(AB\), а точка \(R\) - середина отрезка \(PC\), воспользуемся геометрическими свойствами.

Первым шагом найдем векторы \(\overrightarrow{pa}\) и \(\overrightarrow{pb}\). Так как точка \(P\) является серединой ребра \(AB\), то вектор \(\overrightarrow{pa}\) можно найти как половину вектора \(\overrightarrow{ba}\), а вектор \(\overrightarrow{pb}\) как половину вектора \(\overrightarrow{ab}\):
\[
\overrightarrow{pa} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ba} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})
\]
\[
\overrightarrow{pb} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ab} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})
\]

Теперь выразим векторы \(\overrightarrow{pr}\) и \(\overrightarrow{pc}\) через векторы \(\overrightarrow{pa}\) и \(\overrightarrow{pb}\). Так как точка \(R\) является серединой отрезка \(PC\), то вектор \(\overrightarrow{pr}\) можно найти как половину вектора \(\overrightarrow{pa}\), а вектор \(\overrightarrow{pc}\) как сумму векторов \(\overrightarrow{pb}\) и \(\overrightarrow{bc}\):
\[
\overrightarrow{pr} = \frac{1}{2}\overrightarrow{pa} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})\right) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})
\]
\[
\overrightarrow{pc} = \overrightarrow{pb} + \overrightarrow{bc} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + \overrightarrow{c}
\]

Наконец, выразим вектор \(\overrightarrow{dr}\) через векторы \(\overrightarrow{pr}\), \(\overrightarrow{pc}\) и \(\overrightarrow{dc}\). Вектор \(\overrightarrow{dr}\) будет равен разности векторов \(\overrightarrow{pc}\) и \(\overrightarrow{dc}\):
\[
\overrightarrow{dr} = \overrightarrow{pc} - \overrightarrow{dc} = \left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + \overrightarrow{c}\right) - \overrightarrow{dc}
\]

Таким образом, получили выражение вектора \(\overrightarrow{dr}\) через заданные векторы \(\overrightarrow{da}\), \(\overrightarrow{db}\) и \(\overrightarrow{dc}\):
\[
\overrightarrow{dr} = \left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + \overrightarrow{c}\right) - \overrightarrow{dc}
\]

Обратите внимание, что в данном ответе используется общепринятая нотация исходя из стандартных обозначений, однако убедитесь, что в задаче использованы те же обозначения.