Какова длина хорды CD, если угол АС равен 105°, угол ВD равен 15°, а диаметр AB равен 30 см? Ответ выразите

Irina

52

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами окружности и знанием углов общего делителя.

Давайте начнем с построения окружности с центром O и диаметром AB. Поскольку CD - хорда окружности, известно, что CA и DB являются радиусами этой окружности, так как проходят через центр O. Таким образом, мы можем обозначить перемычку до хорды как R.

Одним из наших углов является угол АС, который равен 105°. Обратите внимание, что угол на окружности, образованный хордой, равен половине угла, под которым она охватывает.

Таким образом, чтобы найти угол АЦ (половина угла АС), мы можем разделить его на 2, получая 105° / 2 = 52.5°.

Зная угол АЦ и радиус ОС (половина диаметра AB), мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса (тангенс отношения противоположной и прилежащей стороны прямоугольного треугольника) для расчета значения тангенса угла АЦ:

\[ \tan (АЦ) = \frac{{R}}{{CA}} \]

Мы знаем, что угол АЦ равен 52.5°, а диаметр AB равен 30 см, поэтому радиус CA равен 30 / 2 = 15 см.

Теперь мы можем переписать наше уравнение для тангенса, используя известные значения:

\[ \tan (52.5°) = \frac{{R}}{{15}} \]

Вычисляя тангенс 52.5° с помощью калькулятора, мы получим приближенное значение 1.26.

Теперь мы можем решить уравнение, чтобы найти R:

\[ 1.26 = \frac{{R}}{{15}} \]

Умножая обе стороны на 15, мы получаем:

\[ R = 1.26 \times 15 = 18.9 \]

Итак, длина хорды CD равна 18.9 см.