Какая асимптотика у числа действий алгоритма, выраженного как сумма n+2n+3n+...+n⋅n?

Shustrik

41

Чтобы найти асимптотику числа действий алгоритма, выраженного как сумма \(n+2n+3n+...+n \cdot n\), давайте разобьем эту сумму на отдельные слагаемые и проанализируем их.

Сумма начинается с \(n\), затем следует \(2n\), затем \(3n\), и так далее, до \(n \cdot n\). Мы можем записать всю эту сумму в более компактной форме, используя математическую нотацию для сумм:

\[S = n + 2n + 3n + ... + n \cdot n = \sum_{i=1}^{n} in\]

Теперь давайте проанализируем каждое слагаемое в этой сумме. Каждое слагаемое представляет собой произведение числа \(i\) и числа \(n\). По мере увеличения значения \(i\), слагаемые также увеличиваются.

Максимальное значение \(i\) равно \(n\), поскольку мы суммируем до \(n \cdot n\). Поэтому последнее слагаемое в сумме равно \(n \cdot n \cdot n\).

Теперь давайте рассмотрим, как сумма зависит от значения \(n\). Обратите внимание, что каждое слагаемое в сумме \(S\) содержит \(n\). Таким образом, можно вынести \(n\) внешним множителем и переписать сумму следующим образом:

\[S = n \cdot (1 + 2 + 3 + ... + n) = n \cdot \sum_{i=1}^{n} i\]

Теперь, чтобы найти значение этой суммы \(\sum_{i=1}^{n} i\), мы можем использовать известную формулу для суммы первых \(n\) натуральных чисел:

\[\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n \cdot (n+1)}{2}\]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в исходную сумму \(S\) и упростить:

\[S = n \cdot \sum_{i=1}^{n} i = n \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{n^2 \cdot (n+1)}{2}\]

Таким образом, мы получили формулу для суммы \(S\) в зависимости от значения \(n\). Теперь мы можем проанализировать асимптотику этой формулы.

Асимптотика выражает поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности. В данном случае, когда \(n\) растет, главным членом этой формулы является \(n^2\). Поэтому мы можем сказать, что асимптотика числа действий алгоритма равна \(O(n^2)\).

То есть, общее число действий алгоритма будет расти пропорционально квадрату \(n\) при увеличении \(n\). Это означает, что чем больше значение \(n\), тем больше операций требуется для выполнения алгоритма.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять асимптотику данного алгоритма.