Какая будет скорость объекта в системе отсчета, движущейся к нему навстречу, если он имеет скорость c/2 в неподвижной

Nikolay

11

Данная задача связана с применением принципа относительности движения, вводимого Альбертом Эйнштейном. Согласно этому принципу, законы физики должны быть одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета.

Предположим, что объект движется в неподвижной системе отсчета со скоростью \(v_1 = \frac{c}{2}\), где \(c\) - это скорость света. Нам нужно найти скорость объекта в системе отсчета, движущейся к нему навстречу.

Пусть \(v_2\) - это скорость объекта во встречной системе отсчета. Используем принцип относительности, чтобы сравнить скорости в обеих системах отсчета. Следующее соотношение является фундаментальным в этой задаче:

\(\frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 \cdot v_2}{c^2}} = c\)

Подставляем известные значения в уравнение: \(v_1 = \frac{c}{2}\) и \(c = c\). Получаем:

\(\frac{\frac{c}{2} + v_2}{1 + \frac{\frac{c}{2} \cdot v_2}{c^2}} = c\)

Решаем это уравнение для \(v_2\). Сначала умножим оба выражения на \(1 + \frac{\frac{c}{2} \cdot v_2}{c^2}\), чтобы избавиться от дробей:
\((\frac{c}{2} + v_2)(1 + \frac{\frac{c}{2} \cdot v_2}{c^2}) = c(1 + \frac{\frac{c}{2} \cdot v_2}{c^2})\)

Раскрываем скобки и упрощаем:
\(\frac{c}{2} + v_2 + \frac{\frac{c}{2} \cdot v_2}{c^2} + \frac{(\frac{c}{2} \cdot v_2)^2}{c^2} = c + \frac{c \cdot v_2}{2c} + \frac{(\frac{c}{2} \cdot v_2)^2}{c^2}\)

Сокращаем выражения и переносим все к одной стороне уравнения:
\(v_2 - \frac{c \cdot v_2}{2c} = c - \frac{c}{2} - \frac{(\frac{c}{2} \cdot v_2)^2}{c^2}\)

Приводим подобные слагаемые:
\(\frac{v_2}{2} = \frac{c}{2} - \frac{(\frac{c}{2} \cdot v_2)^2}{c^2}\)

Упрощаем выражение внутри скобок:
\(\frac{v_2}{2} = \frac{c}{2} - \frac{(\frac{c^2}{4} \cdot v_2^2)}{c^2}\)

Сокращаем выражения:
\(\frac{v_2}{2} = \frac{c}{2} - \frac{c^2 \cdot v_2^2}{4c^2}\)

Выражаем общий знаменатель:
\(\frac{v_2}{2} = \frac{c}{2} - \frac{v_2^2}{4}\)

Умножаем все выражение на 4:
\(2v_2 = 2c - \frac{v_2^2}{2}\)

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:
\(-v_2^2 + 4v_2 - 4c = 0\)

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня. Дискриминант этого уравнения равен:
\(D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4c) = 16 - 16c\)

Если дискриминант больше или равен нулю (\(D \geq 0\)), то уравнение имеет действительные корни:
\(v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16c}}{-2}\)

Теперь рассмотрим каждый вариант ответа, подставив \(c = \frac{v_1}{2}\) и \(v_1 = \frac{c}{2}\) в формулу для \(v_2\):

1) \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot \frac{c}{2}}}{-2}\) ⟹ \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8c}}{-2}\) ⟹ \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot \frac{c}{2}}}{-2}\) ⟹ \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4c}}{-2}\)

2) \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot \frac{3}{4}c}}{-2}\) ⟹ \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12c}}{-2}\)

3) \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot 2c}}{-2}\) ⟹ \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 32c}}{-2}\)

4) \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot \frac{4}{5}c}}{-2}\) ⟹ \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - \frac{64}{5}c}}{-2}\)

Теперь подставим значение \(c = \frac{v_1}{2}\) и получим конкретные значения для каждого варианта ответа.

1) \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot \frac{v_1}{2}}}{-2}\)

2) \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot \frac{v_1}{2}}}{-2}\)

3) \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot \frac{v_1}{2}}}{-2}\)

4) \(v_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - \frac{64}{5} \cdot \frac{v_1}{2}}}{-2}\)

Таким образом, ответ можно получить только после подстановки значений \(v_1\) или заданного значения \(c\). Пожалуйста, уточните эти значения, чтобы я смог точно решить задачу.