Какая будет температура воды после смешивания 400 л воды при 20 градусах и 100 л воды при 70 градусах?

Los

6

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться формулой теплового баланса, которая выглядит следующим образом:

\(m_1c_1T_1 + m_2c_2T_2 = (m_1 + m_2)cT\)

Где:
\(m_1\) - масса первой жидкости (400 л воды при 20 градусах),
\(c_1\) - удельная теплоемкость первой жидкости (предполагаем, что это вода),
\(T_1\) - температура первой жидкости (20 градусов),
\(m_2\) - масса второй жидкости (100 л воды при 70 градусах),
\(c_2\) - удельная теплоемкость второй жидкости (предполагаем, что это вода),
\(T_2\) - температура второй жидкости (70 градусов),
\(m\) - общая масса смеси (400 л + 100 л),
\(c\) - удельная теплоемкость смеси,
\(T\) - температура смеси после смешивания.

Давайте подставим известные значения в формулу и решим уравнение:

\(400 \text{ л} \times c_1 \times 20 \text{ градусов} + 100 \text{ л} \times c_2 \times 70 \text{ градусов} = (400 \text{ л} + 100 \text{ л}) \times c \times T\)

Теперь рассмотрим значение удельной теплоемкости для воды \(c_1\) и \(c_2\). Для воды \(c_1 = c_2 = 1 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \times \text{градус}}\).

Подставим эти значения в уравнение:

\(400 \text{ л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \times \text{градус}} \times 20 \text{ градусов} + 100 \text{ л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \times \text{градус}} \times 70 \text{ градусов} = (400 \text{ л} + 100 \text{ л}) \times c \times T\)

\(8000 \frac{\text{л} \times \text{кДж}}{\text{градус}} + 7000 \frac{\text{л} \times \text{кДж}}{\text{градус}} = 500 \text{ л} \times c \times T\)

\(15000 \frac{\text{л} \times \text{кДж}}{\text{градус}} = 500 \text{ л} \times c \times T\)

Разделим обе стороны уравнения на 500 л:

\(30 \frac{\text{л} \times \text{кДж}}{\text{градус}} = c \times T\)

Теперь мы получили уравнение, которое выражает тепловой баланс смеси воды. Предлагаю рассмотреть вопрос в рамках интересного эксперимента.

Давайте представим, что у нас есть одна большая емкость, в которую мы добавляем 400 литров воды при 20 градусах и затем добавляем 100 литров воды при 70 градусах. После этого мы смешиваем их.

Для начала, давайте рассчитаем количество теплоты, которую каждая жидкость передает окружающей среде:

\(Q_1 = m_1c_1\Delta T_1 = 400 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times (T - 20)\)

\(Q_2 = m_2c_2\Delta T_2 = 100 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times (T - 70)\)

Теперь давайте рассмотрим закон сохранения энергии: всю теплоту, передаваемую каждой жидкостью окружающей среде, должна поглотить смесь:

\(Q_1 + Q_2 = Q\)

\(400 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times (T - 20) + 100 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times (T - 70) = (400 + 100) \, \text{л} \times c \frac{\text{Дж}}{\text{л} \times \text{градус}} \times T\)

Решим это уравнение относительно температуры \(T\):

\(400 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times T - 400 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times 20 + 100 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times T - 100 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times 70 = 500 \, \text{л} \times c \frac{\text{Дж}}{\text{л} \times \text{градус}} \times T\)

Упростим уравнение:

\(400 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times T + 100 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times T = 400 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times 20 + 100 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times 70 + 500 \, \text{л} \times c \frac{\text{Дж}}{\text{л} \times \text{градус}} \times T\)

\(500 \, \text{л} \times c \frac{\text{Дж}}{\text{л} \times \text{градус}} \times T = 400 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times 20 + 100 \, \text{л} \times 1 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}} \times 70\)

\(500 \, \text{л} \times c \frac{\text{Дж}}{\text{л} \times \text{градус}} \times T = 8000 \, \text{кДж} + 7000 \, \text{кДж}\)

\(500 \, \text{л} \times c \frac{\text{Дж}}{\text{л} \times \text{градус}} \times T = 15000 \, \text{кДж}\)

Теперь разделим обе стороны уравнения на 500 л:

\(c \frac{\text{Дж}}{\text{градус}} \times T = 30 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}}\)

И, наконец, получаем окончательное решение:

\(T = \frac{30 \frac{\text{кДж}}{\text{градус}}}{c \frac{\text{Дж}}{\text{градус}}}\)

Таким образом, чтобы найти значение температуры смеси после смешивания, нам нужно знать удельную теплоемкость смеси \(c\).