Какая была бы продолжительность перемещения шарика при том же ускорении, если бы длина желоба была равна

Magnitnyy_Pirat

26

Для того чтобы рассчитать продолжительность перемещения шарика в желобе с известными ускорением и длиной, нам понадобятся формулы кинематики и закон сохранения энергии.

Первым шагом будем использовать формулу кинематики для постоянного ускорения:
\[s = ut + \dfrac{1}{2}at^2\]
где \(s\) - путь, \(u\) - начальная скорость, \(t\) - время, \(a\) - ускорение.

Так как шарик находится в состоянии покоя в начальный момент времени, то начальная скорость равна нулю, \(u = 0\).
Также известно, что ускорение \(a\) является константой.

Теперь мы можем записать формулу для пути перемещения шарика в желобе:
\[s = \dfrac{1}{2}at^2\]

Теперь введем формулу для периода колебаний шарика в математическом маятнике (желоб является математическим маятником), исходя из закона сохранения энергии:
\[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\]
где \(T\) - период, \(l\) - длина желоба, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 \, м/с^2).

Обратимся к задаче: нам необходимо найти продолжительность перемещения шарика при том же ускорении, если бы длина желоба была равна \(l"\).

Если длина желоба равна \(l"\), то период колебаний будет \(T" = 2\pi\sqrt{\dfrac{l"}{g}}\).

Теперь мы должны учесть, что шарик перемещается вдоль длины желоба дважды за период колебаний. То есть, путь \(s"\), пройденный шариком за период колебаний вдоль \(l"\), будет равен двум длинам желоба \(s" = 2l"\).

Таким образом, чтобы найти продолжительность перемещения шарика при том же ускорении, если бы длина желоба была равна \(l"\), мы можем использовать формулу пути перемещения:
\[s" = \dfrac{1}{2}at"^2\]

Заменив \(s"\) на \(2l"\), получим:
\[2l" = \dfrac{1}{2}at"^2\]

Разрешим уравнение относительно \(t"\):
\[t" = \sqrt{\dfrac{4l"}{a}}\]

Таким образом, продолжительность перемещения шарика при том же ускорении, если бы длина желоба была равна \(l"\), равна \(\sqrt{\dfrac{4l"}{a}}\).

Надеюсь, это объяснение поможет вам понять, как решить данную задачу. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь обращаться!