Какая часть света (по интенсивности) пройдет через поляроиды за один полный оборот вокруг оси, если поляроиды вращаются

Letuchaya_4526

8

Данная задача связана с изучением принципов поляризации света и вращения поляроидов. Позвольте мне разъяснить каждый шаг решения.

Когда луч естественного света проходит через поляроид, он поляризуется в определенной плоскости. Поляроид – это оптический элемент, который пропускает только свет, поляризованный в определенном направлении. Если мы разместим два поляризатора в системе, пропускание света будет зависеть от ориентации поляроидов.

Предположим, что первый поляризатор (назовем его P1) имеет угол поворота \(\theta_1\), а второй поляризатор (P2) – угол поворота \(\theta_2\). Когда свет проходит через P1, его интенсивность уменьшается на \(I_1 = I_0 \cdot \cos^2 \theta_1\), где \(I_0\) – начальная интенсивность света.

Далее, свет попадает на P2, который вращается с угловой скоростью \(\omega_2\). Интенсивность света после прохождения через P2 задается выражением \(I_2 = I_1 \cdot \cos^2(\theta_1 + \omega_2 t)\), где \(t\) – время, за которое происходит полный оборот P2 вокруг своей оси.

Мы хотим найти долю света, прошедшего через поляроиды за один полный оборот P2. Это соответствует интегралу интенсивности света от 0 до \(2\pi / \omega_2\) (полный оборот P2) по времени:

\[
\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{2\pi / \omega_2} I_2 \, dt \\
&= \int_{0}^{2\pi / \omega_2} I_1 \cdot \cos^2(\theta_1 + \omega_2 t) \, dt.
\end{aligned}
\]

Чтобы решить этот интеграл, воспользуемся тригонометрической формулой \(\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}\):

\[
\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{2\pi / \omega_2} I_1 \cdot \frac{1 + \cos(2(\theta_1 + \omega_2 t))}{2} \, dt \\
&= \frac{1}{2} \cdot I_1 \int_{0}^{2\pi / \omega_2} (1 + \cos(2\theta_1 + 2\omega_2 t)) \, dt.
\end{aligned}
\]

Теперь проинтегрируем:

\[
\begin{aligned}
I &= \frac{1}{2} \cdot I_1 \left[t + \frac{\sin(2\theta_1 + 2\omega_2 t)}{2\omega_2}\right]_{0}^{2\pi / \omega_2} \\
&= \frac{1}{2} \cdot I_1 \left(\frac{2\pi}{\omega_2} + \frac{\sin(4\pi + 2\theta_1)}{2\omega_2} - \frac{\sin(2\theta_1)}{2\omega_2}\right) \\
&= \frac{1}{2} \cdot I_1 \left(\frac{2\pi}{\omega_2} + \frac{\sin(2\theta_1)}{2\omega_2} - \frac{\sin(2\theta_1)}{2\omega_2}\right) \\
&= \frac{1}{2} \cdot I_1 \cdot \frac{2\pi}{\omega_2} \\
&= I_1 \cdot \frac{\pi}{\omega_2}.
\end{aligned}
\]

Таким образом, часть света, пройденная через поляроиды за один полный оборот P2, составляет \(I = I_1 \cdot \frac{\pi}{\omega_2}\), где \(I_1 = I_0 \cdot \cos^2 \theta_1\), а \(I_0\) – начальная интенсивность света.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Я рад буду помочь!