Какая масса корабля М, если он совершает вертикальные колебания в стоячей воде с периодом Т = 2 с, а площадь
Какая масса корабля М, если он совершает вертикальные колебания в стоячей воде с периодом Т = 2 с, а площадь его сечения S по ватерлинии составляет 300 м2? Плотность воды ρ равна 1000 кг/м3.
Morzh 28
Чтобы найти массу корабля \(M\), воспользуемся законом Архимеда и уравнением колебаний.Закон Архимеда гласит, что всплывающий объект (в данном случае корабль) испытывает силу поддерживающую его, равную весу вытесненной им воды. То есть, сила Архимеда равна массе корабля умноженной на ускорение свободного падения \(g\) и вытесненный объем воды \(V\) умноженный на плотность воды \(\rho\):
\[F_{A} = M \cdot g = V \cdot \rho \cdot g\]
По определению, объем вытесненной воды \(V\) равен площади сечения корабля \(S\) умноженной на его высоту \(h\):
\[V = S \cdot h\]
Так как корабль совершает вертикальные колебания в стоячей воде, то его высота колебаний равна двойной амплитуде \(A\):
\[h = 2A\]
Также нам дан период колебаний \(T\), который равен времени выполнения полного колебательного движения. Период колебаний \(T\) связан с периодом малых колебаний \(T_0\) и высотой колебаний \(h\) следующим образом:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{h}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2A}{g}}\]
Теперь мы можем найти высоту колебаний \(h\) из уравнения для периода колебаний. Возводим его в квадрат и делим на \((2\pi)^2\) по обе стороны:
\[\frac{T^2}{(2\pi)^{2}} = \frac{2A}{g}\]
Зная высоту колебаний \(h\), мы можем записать уравнение для объема вытесненной воды \(V\) через площадь сечения корабля \(S\):
\[V = S \cdot 2A = 2AS\]
Теперь мы можем перейти к задаче и подставить все вместе:
\[F_{A} = M \cdot g = V \cdot \rho \cdot g = 2AS \cdot \rho \cdot g\]
Так как сила Архимеда и вес корабля равны, мы можем записать:
\[M \cdot g = 2AS \cdot \rho \cdot g\]
Ускорение свободного падения \(g\) сокращается, и мы получаем окончательную формулу для массы корабля \(M\):
\[M = 2AS \cdot \rho\]
Подставляем данные из задачи: площадь сечения \(S = 300 \, \text{м}^2\) и плотность воды \(\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3\):
\[M = 2 \cdot 300 \, \text{м}^2 \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3 = 600000 \, \text{кг}\]
Таким образом, масса корабля \(M\) составляет 600000 кг.