Какая начальная скорость у бруска, который соскальзывает с верхней точки наклонной плоскости с углом наклона

Путник_Судьбы

44

Чтобы найти начальную скорость бруска, который соскальзывает с верхней точки наклонной плоскости до достижения нижней точки, мы можем использовать сохранение механической энергии. Зная угол наклона плоскости и высоту верхней точки над нижней точкой, мы можем найти энергию позиции верхней точки и использовать ее для расчета начальной кинетической энергии бруска.

1. Начнем с определения высоты верхней точки над нижней точкой. Мы знаем, что наклонная плоскость образует угол 30°, поэтому можем использовать простейшую геометрию треугольника. Поскольку мы не имеем дополнительной информации, предположим, что высота верхней точки равна единице.

2. Следующим шагом является определение потенциальной энергии бруска в верхней точке. Используя формулу для потенциальной энергии \(E_p = m \cdot g \cdot h\), где \(m\) - масса бруска, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота, мы можем получить следующее значение:
\[E_{p_{\text{верх}}} = m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot 1 = m \cdot g\]

3. После этого мы используем сохранение механической энергии для связи потенциальной энергии в верхней точке и кинетической энергии в нижней точке. Сумма потенциальной и кинетической энергии должна оставаться постоянной. Таким образом, мы можем записать:
\[E_{p_{\text{верх}}} + E_{k_{\text{нач}}} = E_{p_{\text{низ}}} + E_{k_{\text{кон}}}\]

4. По условию задачи, брусок достигает нижней точки, тогда его высота равна нулю. Поэтому потенциальная энергия в нижней точке равна нулю: \(E_{p_{\text{низ}}} = 0\).

5. Теперь мы можем переписать уравнение сохранения энергии, используя полученные значения:
\[mg + E_{k_{\text{нач}}} = 0 + E_{k_{\text{кон}}}\]

6. Поскольку брусок начинает движение с покоя, его начальная кинетическая энергия равна нулю: \(E_{k_{\text{нач}}} = 0\).

7. Отсюда получаем:
\[mg = E_{k_{\text{кон}}}\]

8. Кинетическая энергия в конечной точке связана с начальной скоростью и массой бруска следующим образом: \(E_{k_{\text{кон}}} = \frac{1}{2}mv^2\), где \(v\) - начальная скорость.

9. Подставляя это значение, мы получаем:
\[mg = \frac{1}{2}mv^2\]

10. Масса бруска \(m\) сокращается, и мы имеем:
\[2g = v^2\]

11. Теперь мы можем найти начальную скорость бруска, извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\[v = \sqrt{2g}\]

12. Подставляем значение ускорения свободного падения \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\) и рассчитываем начальную скорость:
\[v = \sqrt{2 \cdot 9.8} \approx \sqrt{19.6} \approx 4.43 \, \text{м/с}\]

Таким образом, начальная скорость бруска, соскальзывающего с верхней точки наклонной плоскости с углом наклона 30° до достижения нижней точки, составляет приблизительно 4.43 м/с.