Какая площадь у прямоугольника, состоящего из клеток 1×1, если его периметр равен 46 и в нем закрашено 50 клеток после

Arsen

61

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьём её на несколько шагов.

Шаг 1: Представим прямоугольник и обозначим его стороны.

Дано, что прямоугольник состоит из клеток 1×1. Обозначим длину прямоугольника через \(a\), а ширину через \(b\).

Шаг 2: Найдём периметр прямоугольника.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \(P = 2a + 2b\). В нашем случае периметр равен 46. Подставим это значение в формулу:

\[46 = 2a + 2b\]

Шаг 3: Найдём количество закрашенных клеток в прямоугольнике.

Из условия задачи известно, что после окраски двух строк и трёх столбцов в прямоугольнике закрашено 50 клеток. Поэтому, количество клеток равно площади закрашенной части.

Шаг 4: Найдём площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: \(S = a \cdot b\).

Шаг 5: Решим систему уравнений.

У нас есть два уравнения. Подставим значение периметра из уравнения в шаге 2 в уравнение площади из шага 4:

\[S = \frac{{46 - 2b}}{2} \cdot b\]

Шаг 6: Решим уравнение и найдём площадь.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[S = (23 - b) \cdot b\]

Теперь решим уравнение:

\[S = 23b - b^2\]

Мы также знаем, что площадь S равна 50 (закрашенным клеткам), поэтому:

\[50 = 23b - b^2\]

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

\[b^2 - 23b + 50 = 0\]

Шаг 7: Решим квадратное уравнение.

Используем квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае \(a = 1\), \(b = -23\), \(c = 50\). Применяя квадратное уравнение, получим:

\[b = \frac{{-(-23) \pm \sqrt{{(-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Выполним вычисления:

\[b = \frac{{23 \pm \sqrt{{529 - 200}}}}{2}\]
\[b = \frac{{23 \pm \sqrt{329}}}{2}\]

Шаг 8: Найдём два возможных значения для \(b\).

Итак, мы получили два возможных значения для \(b\):

\[b_1 = \frac{{23 + \sqrt{329}}}{2} \approx 20.79\]
\[b_2 = \frac{{23 - \sqrt{329}}}{2} \approx 2.21\]

Шаг 9: Найдём соответствующие значения для \(a\) и \(S\).

Теперь, когда мы знаем значения для \(b\), мы можем использовать одно из них, чтобы найти соответствующее значение для \(a\) и площади \(S\). Применим формулы из шагов 2 и 4:

Для \(b = 20.79\):
\[a = \frac{{46 - 2 \cdot 20.79}}{2} \approx 2.21\]
\[S = a \cdot b \approx 2.21 \cdot 20.79 \approx 45.90\]

Для \(b = 2.21\):
\[a = \frac{{46 - 2 \cdot 2.21}}{2} \approx 20.79\]
\[S = a \cdot b \approx 20.79 \cdot 2.21 \approx 45.90\]

Ответ: Площадь прямоугольника равна примерно 45.90, и его стороны примерно равны 2.21 и 20.79.