Какая самая маленькая значение функции Y= (x-18)^2*e^x-18 на интервале [16,5]?

Золото

34

Для решения этой задачи нам потребуется найти минимальное значение функции \(Y\) на интервале \([16,5]\). Для этого мы можем использовать метод производных, чтобы определить, где функция достигает своего локального минимума.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(Y\) по \(x\). Для этого применим правило производной произведения и цепного правила:

\[
\begin{align*}
Y"(x) &= \frac{d}{dx}\left((x-18)^2 \cdot e^{x-18}\right) \\
&= 2(x-18) \cdot e^{x-18} + (x-18)^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{x-18}) \\
&= 2(x-18) \cdot e^{x-18} + (x-18)^2 \cdot e^{x-18}
\end{align*}
\]

Шаг 2: Установим \(Y"(x) = 0\) и найдем значения \(x\), где производная равна нулю:

\[
2(x-18) \cdot e^{x-18} + (x-18)^2 \cdot e^{x-18} = 0
\]

Мы можем вынести \(e^{x-18}\) за скобку:

\[
e^{x-18}(2(x-18) + (x-18)^2) = 0
\]

Теперь у нас есть произведение двух значений, которое равно нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Есть два варианта решения:

Вариант 1: \(e^{x-18} = 0\)

Так как экспонента \(e^{x-18}\) всегда положительна, но никогда не равна нулю, этот вариант не имеет решений.

Вариант 2: \(2(x-18) + (x-18)^2 = 0\)

Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = 2(x-18)\), и \(c = 0\). Решим его с помощью квадратного корня:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
x = \frac{-2(x-18) \pm \sqrt{(2(x-18))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{-2x + 36 \pm \sqrt{4(x-18)^2}}{2}
\]

\[
x = -x + 18 \pm \sqrt{(x-18)^2}
\]

\[
x = 18 \pm (x-18)
\]

Разобьем это на два уравнения:

Уравнение 1: \(x = 18 + (x-18)\)

\[
x = 18 + x - 18
\]

\[
0 = x
\]

Уравнение 2: \(x = 18 - (x-18)\)

\[
x = 18 - x + 18
\]

\[
2x = 36
\]

\[
x = 18
\]

Таким образом, нашли две точки, где \(Y"(x) = 0\): \(x = 0\) и \(x = 18\).

Шаг 3: Найдем значения функции \(Y\) в этих точках. Для этого подставим \(x = 0\) и \(x = 18\) в исходную функцию \(Y(x) = (x-18)^2 \cdot e^{x-18}\):

\[
Y(0) = (0-18)^2 \cdot e^{0-18} = 18^2 \cdot e^{-18}
\]

\[
Y(18) = (18-18)^2 \cdot e^{18-18} = 0
\]

Таким образом, получаем \(Y(0) = 18^2 \cdot e^{-18}\) и \(Y(18) = 0\).

Теперь мы можем сделать выводы: на интервале \([16,5]\) функция \(Y\) достигает своего минимального значения в точке \(x = 18\), и это значение равно \(Y(18) = 0\).