Какая скорость спутника, движущегося по круговой орбите на расстоянии 2000 км от поверхности Земли, где масса Земли

Ledyanoy_Podryvnik

13

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать законы движения тел и законы гравитации.

Первым шагом необходимо найти гравитационную силу, действующую на спутник со стороны Земли. Мы можем использовать формулу закона гравитации:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила притяжения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, а \(r\) - расстояние между ними.

В данной задаче мы рассматриваем только спутник и Землю, поэтому одно из телимасса спутника, а другое - масса Земли. Расстояние между спутником и центром Земли равно сумме радиуса Земли и расстояния от поверхности Земли до спутника:

\[r = R_{\text{Земли}} + h\]

где \(R_{\text{Земли}}\) - радиус Земли, а \(h\) - высота спутника над поверхностью Земли.

Теперь, чтобы найти скорость спутника, мы должны установить равенство между гравитационной силой и необходимой центростремительной силой для движения по круговой орбите:

\[F = F_{\text{цст}}\]

Центростремительная сила связана со скоростью и радиусом орбиты следующим образом:

\[F_{\text{цст}} = \frac{{m_{\text{сп}} \cdot v^2}}{r}\]

где \(m_{\text{сп}}\) - масса спутника, а \(v\) - его скорость.

Теперь мы можем изобразить гравитационную силу и центростремительную силу и установить равенство:

\[\frac{{G \cdot m_{\text{сз}} \cdot m_{\text{сп}}}}{{(R_{\text{Земли}} + h)^2}} = \frac{{m_{\text{сп}} \cdot v^2}}{r}\]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно \(v\), чтобы найти скорость спутника.

Для этого сначала упростим уравнение, подставив значения из условия задачи: \(R_{\text{Земли}} = 6400\) км, \(h = 2000\) км и масса Земли \(m_{\text{сз}} = 6 \times 10^{24}\) кг.

\[\frac{{G \cdot m_{\text{сз}} \cdot m_{\text{сп}}}}{{(R_{\text{Земли}} + h)^2}} = \frac{{m_{\text{сп}} \cdot v^2}}{r}\]

\[\frac{{G \cdot m_{\text{сз}}}}{{(R_{\text{Земли}} + h)^2}} = \frac{{v^2}}{r}\]

Теперь мы можем выразить \(v\):

\[v = \sqrt{\frac{{G \cdot m_{\text{сз}}}}{{R_{\text{Земли}} + h}}}\]

Подставляя значения:

\[v = \sqrt{\frac{{6.67 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}}{{6400 + 2000}}}\]

После выполнения вычислений получим значение скорости спутника.