Какая температура нагревателя должна быть (при постоянной температуре холодильника), чтобы КПД машины увеличился
Какая температура нагревателя должна быть (при постоянной температуре холодильника), чтобы КПД машины увеличился в три раза, если температура нагревателя тепловой машины, работающей по циклу Карно, составляет 207 градусов, а температура холодильника - 117 градусов?
Панда 3
Чтобы определить температуру нагревателя, при которой КПД машины увеличивается в три раза, мы можем использовать формулу КПД для тепловых машин, работающих по циклу Карно:\[
КПД = 1 - \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}}
\]
где \(T_{\text{хол}}\) - температура холодильника, а \(T_{\text{нагр}}\) - температура нагревателя.
В данном случае, у нас два условия: температура нагревателя равна 207 градусам (\(T_{\text{нагр}} = 207^\circ C\)), и температура холодильника равна 117 градусам (\(T_{\text{хол}} = 117^\circ C\)).
Мы знаем, что для увеличения КПД в три раза, нужно найти \(T_{\text{нагр}}"\), которое соответствует новому КПД (\(КПД" = 3 \cdot КПД\)).
Давайте найдем новую температуру нагревателя:
\[
КПД" = 3 \cdot КПД = 3 \cdot \left(1 - \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}"}\right)
\]
Теперь, решим данное уравнение относительно \(T_{\text{нагр}}"\):
\[
3 \cdot \left(1 - \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}"}\right) = 1 - \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}}
\]
\[
1 - \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}"} = \frac{1 - \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}}}{3}
\]
\[
\frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}"} = 1 - \frac{1 - \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}}}{3}
\]
\[
\frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}"} = \frac{2 + \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}}}{3}
\]
Теперь, решим уравнение относительно \(T_{\text{нагр}}"\):
\[
\frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}"} = \frac{2 + \frac{T_{\text{хол}}}{T_{\text{нагр}}}}{3}
\]
Умножим обе части уравнения на \(T_{\text{нагр}}"\):
\[
T_{\text{хол}} = \frac{2 \cdot T_{\text{нагр}}"}{3} + \frac{T_{\text{хол}} \cdot T_{\text{нагр}}"}{3}
\]
Теперь, решим уравнение относительно \(T_{\text{нагр}}"\):
\[
\frac{T_{\text{хол}} \cdot T_{\text{нагр}}"}{3} = T_{\text{хол}} - \frac{2 \cdot T_{\text{нагр}}"}{3}
\]
\[
T_{\text{хол}} \cdot T_{\text{нагр}}" = 3 \cdot T_{\text{хол}} - 2 \cdot T_{\text{нагр}}"
\]
\[
T_{\text{нагр}}" \cdot (T_{\text{хол}} + 2) = 3 \cdot T_{\text{хол}}
\]
\[
T_{\text{нагр}}" = \frac{3 \cdot T_{\text{хол}}}{T_{\text{хол}} + 2}
\]
Теперь, подставим значения температуры холодильника (\(T_{\text{хол}} = 117^\circ C\)) в формулу:
\[
T_{\text{нагр}}" = \frac{3 \cdot 117}{117 + 2} \approx 115.36^\circ C
\]
Таким образом, чтобы КПД машины увеличился в три раза, температура нагревателя должна быть примерно равна \(115.36^\circ C\).