Какая высота будет достигнута шариками после столкновения, если два шарика массами 75 г и 100 г, закрепленные на нитях

Zvezdnaya_Noch

55

Для решения данной задачи можно использовать законы сохранения энергии и импульса.

По закону сохранения энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий системы должна быть постоянной. В начальный момент времени оба шарика находятся на высоте нулевой потенциальной энергии, но обладают кинетической энергией из-за своей скорости. После столкновения и отскока их кинетическая энергия обратится в потенциальную, поэтому можно записать уравнение:

\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = m_1 g h_1 + m_2 g h_2\),

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы шариков, \(v_1\) и \(v_2\) - их скорости после столкновения, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h_1\) и \(h_2\) - высоты шариков после столкновения.

Также, по закону сохранения импульса, сумма импульсов шариков до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения. Импульсом \(p\) называется произведение массы на скорость: \(p = m v\). Запишем уравнение по закону сохранения импульса:

\(m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0\).

Теперь можно решить систему уравнений:

\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = m_1 g h_1 + m_2 g h_2\),

\(m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0\).

А теперь пошагово решим эту систему:

1. Выразим \(v_2\) из второго уравнения системы как \(v_2 = -\frac{m_1}{m_2} v_1\).
2. Подставим полученное значение \(v_2\) в первое уравнение системы:

\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \left(-\frac{m_1}{m_2} v_1\right)^2 = m_1 g h_1 + m_2 g h_2\).

3. Раскроем скобки во втором слагаемом:

\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \frac{m_1^2}{m_2^2} v_1^2 = m_1 g h_1 + m_2 g h_2\).

4. Сократим одинаковые множители во втором слагаемом:

\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} \frac{m_1^2}{m_2} v_1^2 = m_1 g h_1 + m_2 g h_2\).

5. Приведем к общему знаменателю и объединим слагаемые:

\(\frac{1}{2} v_1^2 (m_1 + \frac{m_1^2}{m_2}) = g (m_1 h_1 + m_2 h_2)\).

6. Получили уравнение относительно \(v_1\). Теперь найдем его значение:

\(v_1^2 = \frac{2g(m_1 h_1 + m_2 h_2)}{(m_1 + \frac{m_1^2}{m_2})}\).

7. Подставим известные значения в данное уравнение с учетом \(m_1 = 75\) г, \(m_2 = 100\) г, \(h_1 = 0\), \(h_2 = h\) (высота, которую мы хотим найти):

\(v_1^2 = \frac{2g(75 \cdot 0 + 100 \cdot h)}{(75 + \frac{75^2}{100})}\).

8. Упростим числитель:

\(v_1^2 = \frac{2gh(100)}{(75 + 56.25)}\).

9. Рассчитаем числитель:

\(v_1^2 = \frac{200gh}{131.25}\).

10. Подставим значение ускорения свободного падения \(g = 9.8\) м/с² и рассчитаем \(v_1^2\):

\(v_1^2 = \frac{200 \cdot 9.8 \cdot h}{131.25}\).

11. Рассчитаем \(v_1\):

\(v_1 = \sqrt{\frac{200 \cdot 9.8 \cdot h}{131.25}}\).

12. Далее, используя полученное значение \(v_1\), рассчитаем \(v_2\):

\(v_2 = -\frac{m_1}{m_2} v_1\).

13. Подставим известные значения и рассчитаем \(v_2\):

\(v_2 = -\frac{75}{100} \cdot \sqrt{\frac{200 \cdot 9.8 \cdot h}{131.25}}\).

14. Теперь, зная \(v_2\), можно использовать закон сохранения энергии, чтобы найти \(h_1\) и \(h_2\):

\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = m_1 g h_1 + m_2 g h_2\).

15. Подставим известные значения:

\(\frac{1}{2} \cdot 75 \cdot \left(\sqrt{\frac{200 \cdot 9.8 \cdot h}{131.25}}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \left(-\frac{75}{100} \cdot \sqrt{\frac{200 \cdot 9.8 \cdot h}{131.25}}\right)^2 = 75 \cdot 9.8 \cdot h_1 + 100 \cdot 9.8 \cdot h_2\).

16. Упростим данное уравнение:

\(\frac{1}{2} \cdot 75 \cdot \frac{200 \cdot 9.8 \cdot h}{131.25} + \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \left(-\frac{75}{100}\right)^2 \cdot \frac{200 \cdot 9.8 \cdot h}{131.25} = 75 \cdot 9.8 \cdot h_1 + 100 \cdot 9.8 \cdot h_2\).

17. Умножим все значения в числителях и знаменателях:

\(\frac{75 \cdot 200 \cdot 9.8 \cdot h}{2 \cdot 131.25} + \frac{100 \cdot 75^2 \cdot 200 \cdot 9.8 \cdot h}{2 \cdot 131.25 \cdot 100^2} = 75 \cdot 9.8 \cdot h_1 + 100 \cdot 9.8 \cdot h_2\).

18. Упростим числитель и знаменатель:

\(\frac{0.107683 \cdot h}{1} + \frac{0.049552 \cdot h}{1} = 75 \cdot 9.8 \cdot h_1 + 100 \cdot 9.8 \cdot h_2\).

19. Получили уравнение относительно \(h\). Теперь решим его:

\(0.157259 \cdot h = 75 \cdot 9.8 \cdot h_1 + 100 \cdot 9.8 \cdot h_2\).

20. Заметим, что \(h_1 = h_2 = \frac{h}{2}\) (высота шариков симметрична относительно точки подвеса). Подставим это значение в уравнение:

\(0.157259 \cdot h = 75 \cdot 9.8 \cdot \frac{h}{2} + 100 \cdot 9.8 \cdot \frac{h}{2}\).

21. Вынесем общий множитель:

\(0.157259 \cdot h = (75 + 100) \cdot 9.8 \cdot \frac{h}{2}\).

22. Упростим дробь:

\(0.157259 \cdot h = 175 \cdot 9.8 \cdot \frac{h}{2}\).

23. Рассчитаем значение \(h\):

\(h = \frac{175 \cdot 9.8 \cdot \frac{h}{2}}{0.157259}\).

24. Упростим числитель:

\(h = \frac{85.7 \cdot h}{0.157259}\).

25. Объединим слагаемые:

\(0.157259 \cdot h = 85.7 \cdot h\).

26. Разделим обе части уравнения на \(h\):

\(0.157259 = 85.7\).

27. Получили противоречие. Такого быть не может. Значит, ошибка допущена где-то в процессе решения. Проверим все предыдущие шаги и попробуем найти ошибку.