Какие числа х и у удовлетворяют системе уравнений x^2-y^2=15 и xy-y=-3?

Золотой_Робин Гуд

61

Для начала, давайте решим первое уравнение системы. У нас есть:
\[x^2-y^2=15.\]

Это уравнение является разностью квадратов. Мы можем преобразовать его следующим образом:
\[(x+y)(x-y) = 15.\]

Мы знаем, что 15 - это произведение двух чисел. Давайте рассмотрим все возможные комбинации этих двух чисел:
1 и 15,
3 и 5,
-1 и -15,
-3 и -5.

Теперь рассмотрим возможные значения для \(x+y\) и \(x-y\) при каждой из этих комбинаций:

Комбинация 1 и 15:
\(x+y = 15\) и \(x-y = 1\).
Для этой комбинации, если мы решим эти два уравнения как систему, мы получим \(x = 8\) и \(y = 7\).

Комбинация 3 и 5:
\(x+y = 5\) и \(x-y = 3\).
Для этой комбинации, если мы решим эти два уравнения как систему, мы получим \(x = 4\) и \(y = 1\).

Комбинация -1 и -15:
\(x+y = -1\) и \(x-y = -15\).
Для этой комбинации, если мы решим эти два уравнения как систему, мы получим \(x = -8\) и \(y = -7\).

Комбинация -3 и -5:
\(x+y = -5\) и \(x-y = -3\).
Для этой комбинации, если мы решим эти два уравнения как систему, мы получим \(x = -4\) и \(y = -1\).

Таким образом, имеем четыре пары значений \((x, y)\), которые удовлетворяют первому уравнению системы:
\((8, 7)\), \((4, 1)\), \((-8, -7)\), и \((-4, -1)\).

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:
\[xy-y = -3.\]

Мы можем переписать его в следующем виде:
\[y(x-1) = -3.\]

Теперь рассмотрим каждую из предыдущих пар \((x, y)\) и подставим их значения в это уравнение:

Для \((8, 7)\), получим \(7(8-1) = 7 \cdot 7 = 49\) и это не равно -3.

Для \((4, 1)\), получим \(1(4-1) = 1 \cdot 3 = 3\) и это не равно -3.

Для \((-8, -7)\), получим \(-7(-8-1) = -7 \cdot -9 = 63\) и это не равно -3.

Для \((-4, -1)\), получим \(-1(-4-1) = -1 \cdot -5 = 5\) и это не равно -3.

Таким образом, нет пар значений \((x, y)\), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы одновременно. Система не имеет решений.