Какие физические объекты висят на двух пружинах одинаковой длины и массы, если вторая пружина в 2 раза жестче первой?

Putnik_Sudby

64

Для начала давайте разберемся с основными понятиями и принципами, которые нам понадобятся для решения задачи.

1. Жесткость пружины (k) - это величина, которая характеризует способность пружины сопротивляться деформации. Чем выше жесткость, тем труднее разжать или сжать пружину.

2. Период колебаний пружины (T) - это время, за которое пружина выполняет один полный цикл колебаний (от одного крайнего положения к другому и обратно). Он зависит от жесткости пружины и ее массы.

3. Закон Гука (F = kx) - устанавливает связь между силой (F), которую действует на пружину, ее жесткостью (k) и смещением (x).

Теперь, используя эти понятия, перейдем к решению задачи.

У нас есть две пружины. Первая пружина (с жесткостью k_1) и вторая пружина (с жесткостью k_2 = 2k_1). Массы обоих пружин (m) одинаковы.

Давайте посмотрим на систему одной пружины.

Период колебаний пружины определяется следующей формулой:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

Так как у нас есть две пружины, висящие рядом, и они имеют одинаковую длину и массу, то их периоды колебаний должны быть одинаковыми.

По формуле периода колебаний пружины можно записать:
\[ T_1 = T_2 \]

Теперь подставим значения периода колебаний из формулы в уравнение для каждой пружины:

Для первой пружины (с жесткостью k_1):
\[ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} \]

Для второй пружины (с жесткостью k_2 = 2k_1):
\[ T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k_1}} \]

Из условия задачи мы знаем, что T_1 = T_2. Подставим значения \(T_1\) и \(T_2\) и продолжим уравнение:

\[ 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k_1}} \]

Отбросим общий множитель \(2\pi\) и возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[ \sqrt{\frac{m}{k_1}} = \sqrt{\frac{m}{2k_1}}^2 \]

Произведем квадратное выражение во второй части равенства:

\[ \frac{m}{k_1} = \frac{m}{2k_1}^2 \]

Упростим уравнение:

\[ 1 = \frac{m^2}{4k_1^2} \]

Перенесем член с неизвестной влево:

\[ \frac{m^2}{4k_1^2} - 1 = 0 \]

Сведем дробь к общему знаменателю:

\[ \frac{m^2 - 4k_1^2}{4k_1^2} = 0 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{(m-2k_1)(m+2k_1)}{4k_1^2} = 0 \]

Теперь у нас есть два возможных варианта для решения уравнения:

1) \( m - 2k_1 = 0 \)
2) \( m + 2k_1 = 0 \)

Для первого варианта:
\[ m = 2k_1 \]

Для второго варианта:
\[ m = -2k_1 \]

Итак, физические объекты, которые висят на двух пружинах одинаковой длины и массы, при условии что вторая пружина в два раза жестче первой, имеют следующие массы:

1) Один из объектов имеет массу \( m = 2k_1 \)
2) Второй объект имеет массу \( m = -2k_1 \)

Однако, отрицательная масса нереалистична с физической точки зрения. Таким образом, второй объект не может иметь массу \( -2k_1 \).

Ответ: Физический объект, который висит на двух пружинах одинаковой длины и массы, при условии что вторая пружина в два раза жестче первой, имеет массу \( m = 2k_1 \).