Какие книги Саша не найдет в своей коллекции, когда начнет делать перестановку?

Борис

64

Для ответа на этот вопрос, нам нужно знать, сколько книг имеется в коллекции Саши и какие книги точно он включил в перестановку. Предположим, у Саши в коллекции имеется \(n\) книг, пронумерованных от 1 до \(n\), и он выбирает произвольные \(k\) книг для перестановки.

Количествo возможных перестановок выбранных \(k\) книг из \(n\) исходных книг можно выразить с помощью формулы комбинаторики "n по k" и обозначить символом \(C(n, k)\) или \({n \choose k}\). Формула для этого выражения выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \(n!\) - факториал числа \(n\), который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

Теперь, чтобы определить, сколько книг Саша не найдет в своей коллекции в результате перестановки, нам нужно вычислить число перестановок, в которых каждая книга из выбранных \(k\) книг не входит.

Предположим, у Саши в коллекции имеется 5 книг (нумерация от 1 до 5), и он выбирает 3 книги для перестановки. Если он не включает книгу номер 1 в перестановку, остаются 4 книги, из которых он выбирает 2 для перестановки (так как он уже выбрал 3 книги, не включая первую). Количество таких комбинаций можно рассчитать следующим образом:

\[
C(4, 2) = \frac{{4!}}{{2! \cdot (4-2)!}} = \frac{{4!}}{{2! \cdot 2!}} = 6
\]

Таким образом, если Саша не включает книгу номер 1 в перестановку, он не найдет 6 комбинаций из своей коллекции.

Мы можем применить эту логику для каждой книги в коллекции Саши и сложить все возможные комбинации. Если у нас есть \(n\) книг и Саша выбирает \(k\) книг для перестановки, сумма всех возможных комбинаций для каждой книги, которую он не включает, будет равна:

\[
\sum_{i=0}^{k} C(n-i, k) = C(n, k) + C(n-1, k) + C(n-2, k) + \ldots + C(n-k, k)
\]

Используя эту формулу, мы можем вычислить, какие книги Саша не найдет в своей коллекции после перестановки. Пожалуйста, предоставьте значения \(n\) и \(k\) для конкретных чисел книг и выбранных для перестановки книг, чтобы я мог выполнить расчеты для вас.