Какие координаты точки М находятся на отрезке АВ, если расстояние от точки М до точки А в два раза больше
Какие координаты точки М находятся на отрезке АВ, если расстояние от точки М до точки А в два раза больше, чем расстояние до точки В?
Solnechnyy_Pirog_2244 17
Будем решать задачу по шагам:1. Обозначим координаты точек A и B как (x₁, y₁) и (x₂, y₂) соответственно.
2. Пусть координаты точки M будут (x, y).
3. Расстояние от точки M до точки A можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:
\[d₁ = \sqrt{(x - x₁)² + (y - y₁)²}\]
4. Расстояние от точки M до точки B можно также вычислить аналогичным образом:
\[d₂ = \sqrt{(x - x₂)² + (y - y₂)²}\]
5. Также условие задачи гласит, что расстояние от точки M до точки A в два раза больше, чем расстояние до точки B. Математически это выглядит так:
\[d₁ = 2d₂\]
6. Подставим значения расстояний d₁ и d₂ из шагов 3 и 4 в уравнение из шага 5:
\[\sqrt{(x - x₁)² + (y - y₁)²} = 2\sqrt{(x - x₂)² + (y - y₂)²}\]
7. Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[(x - x₁)² + (y - y₁)² = 4(x - x₂)² + 4(y - y₂)²\]
8. Разрешаем уравнение, выполнив раскрытие скобок и сокращение подобных членов:
\[x² - 2x₁x + x₁² + y² - 2y₁y + y₁² = 4x² - 8x₂x + 4x₂² + 4y² - 8y₂y + 4y₂²\]
9. Группируем переменные x и y:
\[3x² - 2x₁x - 8x₂x + x₁² + 4x₂² + 3y² - 2y₁y - 8y₂y + y₁² + 4y₂² = 0\]
10. Приводим подобные члены:
\[3x² + 3y² - 2x₁x - 8x₂x - 2y₁y - 8y₂y + x₁² + 4x₂² + y₁² + 4y₂² = 0\]
11. Таким образом, уравнение, описывающее все точки M, находящиеся на отрезке АВ, имеет вид:
\[3x² + 3y² - (2x₁ + 8x₂)x - (2y₁ + 8y₂)y + x₁² + 4x₂² + y₁² + 4y₂² = 0\]
Теперь у нас есть искомое уравнение, описывающее координаты точек M, находящихся на отрезке АВ.