Какие моменты времени ближайшие к тому, когда скорость и ускорение в два раза меньше своих максимальных значений, если

Сквозь_Волны

59

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулы для гармонических колебаний и законы движения. Дано, что начальная фаза гармонических колебаний точки равна \(\frac{\pi}{3}\), а период колебаний составляет 0,06.

1. Найдем период колебаний точки. Период колебаний (\(T\)) обратно пропорционален частоте (\(f\)): \(T = \frac{1}{f}\). Известно, что частота (\(f\)) равняется \(\frac{1}{T}\). Подставляя данное значение периода в формулу, получаем:
\[f = \frac{1}{0,06} = 16,67 \, \text{Гц}\]

2. Найдем максимальную скорость (\(v_{\text{max}}\)) и максимальное ускорение (\(a_{\text{max}}\)) точки. Максимальная скорость (\(v_{\text{max}}\)) и максимальное ускорение (\(a_{\text{max}}\)) связаны с частотой (\(f\)) следующим образом:
\[v_{\text{max}} = 2\pi f\]
\[a_{\text{max}} = (2\pi f)^2\]

Подставляя значение частоты, получаем:
\[v_{\text{max}} = 2\pi \cdot 16,67 = 104,67 \, \text{м/с}\]
\[a_{\text{max}} = (2\pi \cdot 16,67)^2 = 6565,96 \, \text{м/с}^2\]

3. Найдем значения времени, когда скорость и ускорение в два раза меньше своих максимальных значений. Мы знаем, что скорость (\(v\)) и ускорение (\(a\)) для гармонических колебаний связаны следующим образом:
\[v = v_{\text{max}} \cdot \cos(\omega t + \phi)\]
\[a = -\omega^2 \cdot x(t)\]

где \(\omega\) - угловая скорость, \(t\) - время, \(\phi\) - начальная фаза, \(x(t)\) - положение точки в момент времени \(t\).

Для скорости (\(v\)):
\[\frac{v}{v_{\text{max}}} = \cos(\omega t + \phi)\]
\[\cos(\omega t + \phi) = \frac{v}{2v_{\text{max}}}\]
\[\omega t + \phi = \arccos\left(\frac{v}{2v_{\text{max}}}\right)\]
\[\omega t = \arccos\left(\frac{v}{2v_{\text{max}}}\right) - \phi\]

Для ускорения (\(a\)):
\[\frac{a}{a_{\text{max}}} = -\omega^2 \cdot x(t)\]
\[-\omega^2 \cdot x(t) = \frac{a}{2a_{\text{max}}}\]
\[\omega^2 \cdot x(t) = -\frac{a}{2a_{\text{max}}}\]
\[\omega t + \phi = \arcsin\left(-\frac{a}{2a_{\text{max}}}\right)\]
\[\omega t = \arcsin\left(-\frac{a}{2a_{\text{max}}}\right) - \phi\]

4. Подставим значения для скорости и ускорения, чтобы найти значения времени. Для удобства, установим \(v = \frac{v_{\text{max}}}{2}\) и \(a = \frac{a_{\text{max}}}{2}\).

Для скорости:
\[\omega t = \arccos\left(\frac{\frac{v_{\text{max}}}{2}}{2v_{\text{max}}}\right) - \phi\]
\[\omega t = \arccos\left(\frac{1}{4}\right) - \phi\]
\[\omega t = \arccos\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{\pi}{3}\]
\[\omega t = 1,23\]

Для ускорения:
\[\omega t = \arcsin\left(-\frac{\frac{a_{\text{max}}}{2}}{2a_{\text{max}}}\right) - \phi\]
\[\omega t = \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) - \phi\]
\[\omega t = \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) - \frac{\pi}{3}\]
\[\omega t = -0,72\]

Таким образом, моменты времени ближайшие к тому, когда скорость и ускорение в два раза меньше своих максимальных значений, являются \(\omega t = 1,23\) и \(\omega t = -0,72\).