Какие натуральные значения n приводят к периодическому десятичному представлению дроби 1/n без предпериода

Ластик_5494

60

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим десятичное представление единицы, деленной на натуральное число $n$. Запишем десятичное представление в виде $\frac{1}{n}=0.\overline{a_1{a}_2{a}_3...a_k}$, где $k$ - длина периода, $a_1,a_2,a_3,...,a_k$ - цифры периода. Для дроби без предпериода, длина предпериода равна 0.

Теперь рассмотрим различные значения $n$ и посмотрим, какие из них приводят к периодическому десятичному представлению без предпериода и с минимальным периодом.

1. Если $n$ - простое число, то по теореме Ферма дробь $\frac{1}{n}$ будет иметь периодическое десятичное представление без предпериода. Длина периода может быть любой от 1 до $n-1$. Таким образом, все простые числа $n$ удовлетворяют условию задачи.

2. Если $n$ - составное число, то рассмотрим его разложение на простые множители. Пусть $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot ...\cdot p_k^{a_k}$ - разложение на простые множители. Тогда дробь $\frac{1}{n}$ будет иметь периодическое десятичное представление без предпериода, если все простые множители $p_1,p_2,...,p_k$ являются множителями числа 10.

Таким образом, натуральные значения $n$, которые приводят к периодическому десятичному представлению дроби $\frac{1}{n}$ без предпериода и с минимальным периодом длиной, представляют собой все простые числа и составные числа, представленные в виде произведения нескольких множителей числа 10.

$$n=2,5,10,20,25,50,100,125,200,250,500,1000,...$$

Надеюсь, это решение помогло вам понять, какие значения $n$ удовлетворяют заданному условию. Если у вас возникли дополнительные вопросы, буду рад помочь!