Какие натуральные значения n приводят к периодическому десятичному представлению дроби 1/n без предпериода

Ластик_5494

60

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим десятичное представление единицы, деленной на натуральное число \(n\). Запишем десятичное представление в виде \(\frac{1}{n} = 0.\overline{a_1a_2a_3...a_k}\), где \(k\) - длина периода, \(a_1, a_2, a_3, ..., a_k\) - цифры периода. Для дроби без предпериода, длина предпериода равна 0.

Теперь рассмотрим различные значения \(n\) и посмотрим, какие из них приводят к периодическому десятичному представлению без предпериода и с минимальным периодом.

1. Если \(n\) - простое число, то по теореме Ферма дробь \(\frac{1}{n}\) будет иметь периодическое десятичное представление без предпериода. Длина периода может быть любой от 1 до \(n-1\). Таким образом, все простые числа \(n\) удовлетворяют условию задачи.

2. Если \(n\) - составное число, то рассмотрим его разложение на простые множители. Пусть \(n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k}\) - разложение на простые множители. Тогда дробь \(\frac{1}{n}\) будет иметь периодическое десятичное представление без предпериода, если все простые множители \(p_1, p_2, ..., p_k\) являются множителями числа 10.

Таким образом, натуральные значения \(n\), которые приводят к периодическому десятичному представлению дроби \(\frac{1}{n}\) без предпериода и с минимальным периодом длиной, представляют собой все простые числа и составные числа, представленные в виде произведения нескольких множителей числа 10.

\[n = 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000, ...\]

Надеюсь, это решение помогло вам понять, какие значения \(n\) удовлетворяют заданному условию. Если у вас возникли дополнительные вопросы, буду рад помочь!