Какие нужно найти катеты прямоугольного треугольника, если его площадь равна 192 и отношение длин катетов одинаково?

Единорог

57

Данная задача состоит в нахождении катетов прямоугольного треугольника, зная его площадь и отношение длин катетов.

Пусть длина одного катета равна \(x\), а другого катета - \(y\). Также известно, что площадь треугольника равна 192.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[192 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\]

Чтобы найти катеты, необходимо учесть также то, что отношение длин катетов одинаково. То есть:
\[\frac{x}{y} = \frac{y}{x}\]

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
\[\begin{cases} 192 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \\ \frac{x}{y} = \frac{y}{x} \end{cases}\]

Давайте решим систему уравнений пошагово:

1. Перенесём \(\frac{1}{2}\) влево в первом уравнении:
\[384 = x \cdot y\]

2. Во втором уравнении умножим обе части на \(xy\):
\[x^2 = y^2\]

3. Подставим выражение для \(y\) из первого уравнения во второе:
\[x^2 = \left(\frac{384}{x}\right)^2\]

4. Раскроем скобки и упростим:
\[x^2 = \frac{147,456}{x^2}\]

5. Приведём выражение к квадратному уравнению:
\[x^4 = 147,456\]

6. Извлечём корень из обеих частей уравнения:
\[x^2 = \sqrt{147,456}\]
\[x = \sqrt[4]{147,456}\]

7. Найдём значение \(x\) с помощью калькулятора:
\[x \approx 12\]

8. Подставим найденное значение \(x\) в первое уравнение и найдём значение \(y\):
\[192 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot y\]
\[384 = 12y\]
\[y = \frac{384}{12}\]
\[y \approx 32\]

Таким образом, длина одного катета равна около 12, а другого - около 32.