Какие простые числа разность квадратов последовательно идущих простых чисел равна 360? Укажите наименьшую пару чисел

Cyplenok_7325

59

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

1. Задачу можно разбить на два этапа: нахождение последовательных простых чисел и проверку, соответствует ли разность квадратов этих чисел значению 360.

2. Начнем с поиска последовательных простых чисел. Простое число - это натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и так далее.

3. Для нахождения пары простых чисел, мы можем использовать формулу разности квадратов:
\[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\]
Поскольку нам нужно найти пару чисел, у которых разность квадратов равна 360, мы можем записать уравнение в виде:
\[360 = (a + b)(a - b)\]

4. Мы знаем, что 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5. Поэтому у нас есть несколько вариантов разложения числа 360 на два сомножителя:
\(a + b = 360, a - b = 1\) или \(a + b = 180, a - b = 2\) или \(a + b = 120, a - b = 3\) и так далее.

5. Давайте рассмотрим первый вариант: \(a + b = 360\) и \(a - b = 1\).
Сложим оба уравнения и получим:
\((a + b) + (a - b) = 360 + 1\)
\[2a = 361\]
\[a = \frac{361}{2} = 180.5\]
Таким образом, первый вариант не подходит, так как а не является целым числом.

6. Рассмотрим второй вариант: \(a + b = 180\) и \(a - b = 2\).
Сложим оба уравнения и получим:
\((a + b) + (a - b) = 180 + 2\)
\[2a = 182\]
\[a = \frac{182}{2} = 91\]

Подставим значение a в одно из уравнений:
\(91 + b = 180\)
\[b = 180 - 91 = 89\]

Итак, у нас есть пара простых чисел, где разность их квадратов равна 360: 89 и 91.

Таким образом, наименьшая пара чисел, расположенных по возрастанию и для которых разность квадратов равна 360, состоит из чисел 89 и 91.