Какие состояния может принимать система? Каковы вероятности переходов между состояниями? Каковы конечные вероятности

Fedor

18

Для того чтобы решить данную задачу, нам потребуется знание о теории вероятностей и марковских процессах. Система, которая принимает различные состояния и переходит между ними с некоторыми вероятностями, может быть описана с помощью матрицы переходов.

Давайте представим, что у нас есть система с \(n\) различными состояниями, которые мы обозначим как \(S_1, S_2, \ldots, S_n\). Матрица переходов \(P\) размера \(n \times n\) будет содержать вероятности переходов между этими состояниями.

Пусть элемент \(P_{ij}\) матрицы \(P\) обозначает вероятность перехода из состояния \(S_i\) в состояние \(S_j\). Таким образом, сумма элементов каждой строки матрицы \(P\) будет равна 1, так как вероятности всех возможных переходов из данного состояния должны составить полную вероятность.

Кроме того, система может иметь конечные состояния. Конечные состояния - это состояния, в которых система окончательно остановится и больше не будет менять своего состояния. Вероятности достижения конечных состояний называются конечными вероятностями состояний системы.

Чтобы определить конечные вероятности состояний системы, нам потребуется решить систему линейных уравнений, где каждое уравнение представляет собой условие равенства суммы произведений конечных вероятностей состояний и соответствующих вероятностей переходов. Эту систему можно записать в виде уравнения:

\[
\begin{cases}
P_{11}F_1 + P_{12}F_2 + \ldots + P_{1n}F_n = F_1 \\
P_{21}F_1 + P_{22}F_2 + \ldots + P_{2n}F_n = F_2 \\
\vdots \\
P_{n1}F_1 + P_{n2}F_2 + \ldots + P_{nn}F_n = F_n \\
\end{cases}
\]

Где \(F_i\) - это конечная вероятность состояния \(S_i\).

Решив данную систему уравнений, мы найдем значения конечных вероятностей состояний системы.

Данный подход применим к системам, которые являются эргодическими. Эргодическое состояние - это состояние, из которого можно достичь любого другого состояния системы с некоторым количеством шагов.

Надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять, какие состояния может принимать система, каковы вероятности переходов между состояниями и каковы конечные вероятности состояний системы. Если остались вопросы, пожалуйста, задавайте!