Какие столбцы таблицы соответствуют переменным w и x, когда Вася заполнил только некоторые ячейки таблицы истинности

Zimniy_Veter

41

Для решения этой задачи мы должны выяснить, какие столбцы таблицы истинности соответствуют переменным w и x в выражении F. Для начала, давайте расшифруем выражение, чтобы было проще понять, как заполнять таблицу истинности.

В данном выражении у нас есть несколько логических операций: отрицание (¬), конъюнкция (/), дизъюнкция (\/) и импликация (→). Давайте разберемся с каждым из них.

1. Отрицание (¬): Если в выражении перед переменной стоит отрицание, то значение переменной меняется на противоположное. Например, если x = 0, то ¬x = 1.

2. Конъюнкция (/): Если в выражении между двумя переменными стоит конъюнкция, то результат будет истинным только в том случае, если обе переменные истинны. Например, если x = 1 и y = 1, то x / y = 1.

3. Дизъюнкция (\/): Если в выражении между двумя переменными стоит дизъюнкция, то результат будет истинным, если хотя бы одна из переменных истинна. Например, если x = 1 и y = 0, то x \/ y = 1.

4. Импликация (→): Если в выражении между двумя переменными стоит импликация, то результат будет истинным, если либо первая переменная ложна, либо вторая переменная истинна. Например, если x = 0 и y = 0, то x → y = 1.

Теперь давайте заполним таблицу истинности для данного выражения:

\[
\begin{array}{cc|c|c|c|c}
w & x & y & z & ((x \rightarrow y) \vee \neg (z \rightarrow w)) & ((w \rightarrow \neg x) \vee (\neg y \rightarrow z)) & F \\
\hline
0 & 0 & & & & & \\
0 & 1 & & & & & \\
1 & 0 & & & & & \\
1 & 1 & & & & & \\
\end{array}
\]

Для заполнения таблицы истинности нам нужно рассчитать значения выражения в каждой ячейке. Заполним таблицу пошагово, используя логические операции для каждого выражения:

1. \((x \rightarrow y)\) для ячейки со значением w = 0 и x = 0:
* \(x \rightarrow y\) означает, что если x = 0, то это выражение всегда истинно.
* Значит, значение \((x \rightarrow y)\) будет 1.

2. \(\neg (z \rightarrow w)\) для ячейки со значением w = 0 и x = 0:
* \(z \rightarrow w\) означает, что если z = 0, то это выражение всегда истинно.
* Отрицание \(\neg (z \rightarrow w)\) значит, что мы меняем значение на противоположное.
* Значит, значение \(\neg (z \rightarrow w)\) будет 0.

3. \(((x \rightarrow y) \vee \neg (z \rightarrow w))\) для ячейки со значением w = 0 и x = 0:
* \(((x \rightarrow y) \vee \neg (z \rightarrow w))\) означает, что это выражение истинно, если хотя бы одно из выражений истинно.
* Для данной ячейки значение \((x \rightarrow y)\) равно 1, а значение \(\neg (z \rightarrow w)\) равно 0.
* Значит, значение \(((x \rightarrow y) \vee \neg (z \rightarrow w))\) будет 1.

4. \(((w \rightarrow \neg x) \vee (\neg y \rightarrow z))\) для ячейки со значением w = 0 и x = 0:
* \((w \rightarrow \neg x)\) означает, что если w = 0, то это выражение всегда истинно.
* Отрицание \(\neg y\) означает, что мы меняем значение y на противоположное.
* \((\neg y \rightarrow z)\) означает, что если \(\neg y = 1\), то это выражение всегда истинно.
* Для данной ячейки значение \((w \rightarrow \neg x)\) равно 1, а значение \(\neg y = 1\) и \((\neg y \rightarrow z)\) равно 1.
* Значит, значение \(((w \rightarrow \neg x) \vee (\neg y \rightarrow z))\) будет 1.

5. Значение F для ячейки со значением w = 0 и x = 0:
* Значение F равно результату логической операции конъюнкции между \(((x \rightarrow y) \vee \neg (z \rightarrow w))\) и \(((w \rightarrow \neg x) \vee (\neg y \rightarrow z))\).
* Для данной ячейки, оба значения равны 1, поэтому результат конъюнкции будет 1.

Теперь давайте повторим аналогичные шаги для остальных ячеек:

\[
\begin{array}{cc|c|c|c|c}
w & x & y & z & ((x \rightarrow y) \vee \neg (z \rightarrow w)) & ((w \rightarrow \neg x) \vee (\neg y \rightarrow z)) & F \\
\hline
0 & 0 & & & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & & & & & \\
1 & 0 & & & & & \\
1 & 1 & & & & & \\
\end{array}
\]

Таким образом, столбцы таблицы истинности, соответствующие переменным w и x, будут заполнены следующим образом:

\[
\begin{array}{cc|c|c|c}
w & x & ((x \rightarrow y) \vee \neg (z \rightarrow w)) & ((w \rightarrow \neg x) \vee (\neg y \rightarrow z)) & F \\
\hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & & & \\
1 & 0 & & & \\
1 & 1 & & & \\
\end{array}
\]

Таким образом, столбец, соответствующий переменной w, будет равен 0, 0, 0 и 0, а столбец, соответствующий переменной x, будет равен 0, 1, 0 и 1.