Какие точки между двумя параллельными проводниками имеют нулевую индукцию магнитного поля? Расстояние между

Глеб

41

Чтобы определить точки с нулевой индукцией магнитного поля между двумя параллельными проводниками, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа. Интеграл этого закона дает нам элементарный токовой элемент \(d\vec{l}\times \vec{B}\), который позволяет нам вычислить индукцию магнитного поля в точке, образованной проводниками.

Воспользуемся правилом правой руки для определения направления магнитного поля, создаваемого каждым проводником. Если мы возьмем первый проводник и зажмем его правую руку так, чтобы большой палец был направлен в сторону тока, то пальцы обхватят проводник в направлении магнитного поля. Для второго проводника магнитное поле будет направлено в противоположную сторону.

Теперь рассмотрим два случая:

А) Когда токи направлены одинаково:

Обозначим расстояние между проводниками как \(d = 14\) см \( = 0.14\) м. Запишем формулу для индукции магнитного поля в точке \(P\) между проводниками:

\[
\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot l_1}}{{2\pi \cdot d}} - \frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot l_2}}{{2\pi \cdot d}}
\]

Где:
\(\vec{B}\) - вектор индукции магнитного поля,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) Тл/м/А),
\(I_1\) и \(I_2\) - токи в первом и втором проводниках, соответственно,
\(l_1\) и \(l_2\) - длины первого и второго проводников, соответственно,
\(d\) - расстояние между проводниками.

Так как мы ищем точку с нулевым магнитным полем, то можно приравнять значение \(\vec{B}\) к нулю и решить полученное уравнение относительно \(d\). Подставим значения для токов и расстояния:

\[
0 = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3 \cdot l_1}}{{2\pi \cdot d}} - \frac{{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4 \cdot l_2}}{{2\pi \cdot d}}
\]

Упростим уравнение, уберем общие множители:

\[
0 = 3 \cdot l_1 - 4 \cdot l_2
\]

Таким образом, точка с нулевым магнитным полем находится в позиции, где длина первого проводника (\(l_1\)) в три раза больше длины второго проводника (\(l_2\)).

Б) Когда токи направлены в противоположных направлениях:

Для этого случая используем ту же формулу, что и в предыдущем случае:

\[
\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot l_1}}{{2\pi \cdot d}} - \frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot l_2}}{{2\pi \cdot d}}
\]

Подставим значения и заметим, что токи имеют противоположные знаки (3 А и -4 А):

\[
\vec{B} = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3 \cdot l_1}}{{2\pi \cdot d}} - \frac{{4\pi \times 10^{-7} \cdot (-4) \cdot l_2}}{{2\pi \cdot d}}
\]

Упростим это уравнение:

\[
\vec{B} = \frac{{12\pi \times 10^{-7} \cdot l_1 + 16\pi \times 10^{-7} \cdot l_2}}{{2\pi \cdot d}}
\]

Так как знаки токов противоположны, нам нужно найти точки, где значение \(\vec{B}\) становится равным нулю. Это происходит, когда длины проводников удовлетворяют условию:

\[
-12\pi \times 10^{-7} \cdot l_1 = 16\pi \times 10^{-7} \cdot l_2
\]

Чтобы решить это уравнение, делим обе стороны на \(4\pi \times 10^{-7}\):

\[
-3l_1 = 4l_2
\]

Таким образом, точка с нулевым магнитным полем находится в позиции, где длина первого проводника (\(l_1\)) равна длине второго проводника (\(l_2\)), умноженной на \(-\frac{4}{3}\).