Какие точки между двумя параллельными проводниками имеют нулевую индукцию магнитного поля? Расстояние между

Глеб

41

Чтобы определить точки с нулевой индукцией магнитного поля между двумя параллельными проводниками, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа. Интеграл этого закона дает нам элементарный токовой элемент $d\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$, который позволяет нам вычислить индукцию магнитного поля в точке, образованной проводниками.

Воспользуемся правилом правой руки для определения направления магнитного поля, создаваемого каждым проводником. Если мы возьмем первый проводник и зажмем его правую руку так, чтобы большой палец был направлен в сторону тока, то пальцы обхватят проводник в направлении магнитного поля. Для второго проводника магнитное поле будет направлено в противоположную сторону.

Теперь рассмотрим два случая:

А) Когда токи направлены одинаково:

Обозначим расстояние между проводниками как $d=14$ см $=0.14$ м. Запишем формулу для индукции магнитного поля в точке $P$ между проводниками:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0\cdot I_1\cdot l_1}{2\pi \cdot d}-\frac{{\mu }_0\cdot I_2\cdot l_2}{2\pi \cdot d}$$

Где:
$\overrightarrow{B}$ - вектор индукции магнитного поля,
${\mu }_0$ - магнитная постоянная (${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}$ Тл/м/А),
$I_1$ и $I_2$ - токи в первом и втором проводниках, соответственно,
$l_1$ и $l_2$ - длины первого и второго проводников, соответственно,
$d$ - расстояние между проводниками.

Так как мы ищем точку с нулевым магнитным полем, то можно приравнять значение $\overrightarrow{B}$ к нулю и решить полученное уравнение относительно $d$. Подставим значения для токов и расстояния:

$$0=\frac{4\pi \times {10}^{-7}\cdot 3\cdot l_1}{2\pi \cdot d}-\frac{4\pi \times {10}^{-7}\cdot 4\cdot l_2}{2\pi \cdot d}$$

Упростим уравнение, уберем общие множители:

$$0=3\cdot l_1-4\cdot l_2$$

Таким образом, точка с нулевым магнитным полем находится в позиции, где длина первого проводника ($l_1$) в три раза больше длины второго проводника ($l_2$).

Б) Когда токи направлены в противоположных направлениях:

Для этого случая используем ту же формулу, что и в предыдущем случае:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0\cdot I_1\cdot l_1}{2\pi \cdot d}-\frac{{\mu }_0\cdot I_2\cdot l_2}{2\pi \cdot d}$$

Подставим значения и заметим, что токи имеют противоположные знаки (3 А и -4 А):

$$\overrightarrow{B}=\frac{4\pi \times {10}^{-7}\cdot 3\cdot l_1}{2\pi \cdot d}-\frac{4\pi \times {10}^{-7}\cdot (-4)\cdot l_2}{2\pi \cdot d}$$

Упростим это уравнение:

$$\overrightarrow{B}=\frac{12\pi \times {10}^{-7}\cdot l_1+16\pi \times {10}^{-7}\cdot l_2}{2\pi \cdot d}$$

Так как знаки токов противоположны, нам нужно найти точки, где значение $\overrightarrow{B}$ становится равным нулю. Это происходит, когда длины проводников удовлетворяют условию:

$$-12\pi \times {10}^{-7}\cdot l_1=16\pi \times {10}^{-7}\cdot l_2$$

Чтобы решить это уравнение, делим обе стороны на $4\pi \times {10}^{-7}$:

$$-3l_1=4l_2$$

Таким образом, точка с нулевым магнитным полем находится в позиции, где длина первого проводника ($l_1$) равна длине второго проводника ($l_2$), умноженной на $-\frac{4}{3}$.