Какие точки являются стационарными для функции f(x)=2x^2-9x^2+12x-2? Какие экстремумы имеет функция

Зимний_Вечер

55

Для начала определим, что такое стационарные точки и экстремумы функций. Стационарная точка - это точка, в которой производная функции равна нулю или не существует. Экстремумы функции - это точки, в которых функция достигает максимума или минимума.

Для заданной функции \(f(x)=2x^2-9x^2+12x-2\) нам нужно найти стационарные точки. Для этого возьмем производную функции по переменной \(x\) и приравняем ее к нулю:

\[f"(x)=4x-18x+12=0\]

Теперь решим уравнение:

\[4x-18x+12=0\]

Сгруппируем похожие слагаемые:

\[-14x+12=0\]

Вычтем 12 из обеих частей уравнения:

\[-14x=-12\]

И разделим обе части на -14:

\[x=\frac{12}{14}\]

Упростим дробь:

\[x=\frac{6}{7}\]

Таким образом, стационарная точка функции \(f(x)\) - это \(x=\frac{6}{7}\).

Теперь перейдем к функции \(F(x)=2x^3-9x^2+12x-2\) и найдем экстремумы. Для этого возьмем производную функции \(F(x)\) по переменной \(x\) и приравняем ее к нулю:

\[F"(x)=6x^2-18x+12=0\]

Разделим все слагаемые на 6:

\[x^2-3x+2=0\]

Решим это квадратное уравнение, факторизуя его:

\[(x-1)(x-2)=0\]

Таким образом, получаем две стационарные точки: \(x=1\) и \(x=2\).

Теперь остается найти, какие экстремумы соответствуют этим точкам. Для этого нужно проанализировать вторую производную \(F""(x)\) функции \(F(x)\). Если вторая производная положительна, то точка является минимумом функции, если она отрицательна - то максимумом.

Вычислим вторую производную:

\[F""(x)=12x-18\]

Подставим первую стационарную точку \(x=1\):

\[F""(1)=12-18=-6\]

Подставим вторую стационарную точку \(x=2\):

\[F""(2)=24-18=6\]

Таким образом, у точки \(x=1\) функция \(F(x)\) имеет максимум, а у точки \(x=2\) - минимум.

Итак, точки, являющиеся стационарными для функции \(f(x)=2x^2-9x^2+12x-2\), это \(x=\frac{6}{7}\). А функция \(F(x)=2x^3-9x^2+12x-2\) имеет максимум в точке \(x=1\) и минимум в точке \(x=2\).