Какие уравнения движения и траектории y=f(x) материальной точки массы m, движущейся в горизонтальной плоскости

Магический_Кристалл_4264

40

Чтобы найти уравнения движения и траекторию материальной точки в горизонтальной плоскости, под действием силы притяжения к началу координат, воспользуемся вторым законом Ньютона \(F = m \cdot a\), где \(F\) - сила, \(m\) - масса точки, а \(a\) - ускорение.

Сила пропорциональна расстоянию точки от начала координат с коэффициентом пропорциональности \(k^2m\), поэтому мы можем записать силу как:
\[F = -k^2mx\]

Так как сила направлена к началу координат, она имеет отрицательное значение.

Теперь мы можем записать второй закон Ньютона для оси x:
\[m \cdot x" = -k^2mx\]

Раскрывая это уравнение, получим:
\[x" + k^2x = 0\]

Это уравнение является уравнением гармонического осциллятора, для которого мы знаем решение. Общее решение данного уравнения представляется в виде:
\[x(t) = A\cos(kt) + B\sin(kt)\]

где \(A\) и \(B\) - произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Теперь рассмотрим ось y. Поскольку движение происходит в горизонтальной плоскости, ускорение по оси y равно нулю \(y" = 0\). Таким образом, точка движется равномерно по оси y с начальной скоростью \(v_0\) и начальной координатой \(h\).

Из этого следует, что уравнение движения по оси y можно записать как:
\[y(t) = h + v_0t\]

Таким образом, уравнения движения материальной точки в горизонтальной плоскости будут:
\[x(t) = A\cos(kt) + B\sin(kt)\]
\[y(t) = h + v_0t\]