Какие уравнения определяют плоскость, проходящую через середины отрезка ab и перпендикулярную к нему, если A (3

Барбос

62

(5, 2, -1)?

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка \(AB\) и перпендикулярной к нему, необходимо учитывать следующие шаги.

Шаг 1: Найдем середину отрезка \(AB\)
Чтобы найти середину отрезка \(AB\), нужно взять среднее значение координат \(x\), \(y\) и \(z\) для точек \(A\) и \(B\).
\[x_{m} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}\]
\[y_{m} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}\]
\[z_{m} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2}\]
Подставим значения точек \(A\) и \(B\) в формулы:
\[x_{m} = \frac{3 + 5}{2} = 4\]
\[y_{m} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\]
\[z_{m} = \frac{7 - 1}{2} = 3\]

Таким образом, середина отрезка \(AB\) имеет координаты \(4, -1, 3\).

Шаг 2: Найдем вектор, перпендикулярный отрезку \(AB\)
Чтобы найти вектор, перпендикулярный отрезку \(AB\), нужно вычесть координаты начальной точки \(A\) из координат конечной точки \(B\).
\[\vec{v} = \vec{B} - \vec{A}\]
\[\vec{v} = (5, 2, -1) - (3, -4, 7)\]
\[\vec{v} = (5 - 3, 2 - (-4), -1 - 7)\]
\[\vec{v} = (2, 6, -8)\]

Таким образом, вектор, перпендикулярный отрезку \(AB\), равен \(\vec{v} = (2, 6, -8)\).

Шаг 3: Найдем уравнение плоскости
Уравнение плоскости можно записать в виде:
\[Ax + By + Cz + D = 0\]
где \(A\), \(B\) и \(C\) - координаты вектора, перпендикулярного плоскости, а \(D\) - число.

Зная, что вектор \((A, B, C)\) перпендикулярен плоскости, мы можем использовать его координаты для записи уравнения плоскости. В нашем случае:
\[(2, 6, -8)\)

Теперь, чтобы найти \(D\), мы можем подставить координаты середины отрезка \(AB\) в уравнение плоскости:
\[4A -1B + 3C + D = 0\]

Подставим координаты середины отрезка \(AB\):
\[4(2) -1(6) + 3(-8) + D = 0\]
\[8 - 6 - 24 + D = 0\]
\[-22 + D = 0\]
\[D = 22\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка \(AB\) и перпендикулярной к нему, будет:
\[2x + 6y - 8z + 22 = 0\]

Готово! У нас есть уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка \(AB\) и перпендикулярной к нему.