Какие уравнения сторон треугольника могут быть составлены, если известны координаты вершин (0, 7) и (-2, 3), площадь

Pylayuschiy_Zhar-ptica

51

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через координаты его вершин, а также уравнения прямой.

Чтобы найти площадь треугольника, используем следующую формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\]

Где \(S\) - площадь треугольника, \(x_1, y_1\), \(x_2, y_2\), \(x_3, y_3\) - координаты вершин треугольника.

Известные нам координаты вершин треугольника:
\(A(0, 7)\) и \(B(-2, 3)\).

Пусть третья вершина треугольника имеет координаты \(C(x, y)\).

Также известно, что площадь треугольника равна 3.

Подставим все эти значения в формулу площади и найдем неизвестные координаты третьей вершины:

\[\frac{1}{2} \cdot |0(y - 3) + (-2)(7 - y) + x(7 - 3)| = 3\]

\[\frac{1}{2} \cdot |-2y + 2 + 4x| = 3\]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает неизвестные координаты \(x\) и \(y\). Чтобы найти уравнения сторон треугольника, мы можем использовать точки \(A(0, 7)\), \(B(-2, 3)\) и \(C(x, y)\).

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно найти, используя формулу:

\[y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\]

Подставим известные значения:

Для стороны AB:
\(A(0, 7)\) и \(B(-2, 3)\)

\[y - 7 = \frac{3 - 7}{-2 - 0}(x - 0)\]
\[y - 7 = \frac{-4}{-2}x\]
\[y = 8 - 4x\]

Для стороны BC:
\(B(-2, 3)\) и \(C(x, y)\)

\[y - 3 = \frac{y - 3}{x - (-2)}(x - (-2))\]
\[y - 3 = \frac{y - 3}{x + 2}(x + 2)\]
\[(x + 2)y - 3(x + 2) = y - 3\]
\[xy + 2y - 3x - 6 = y - 3\]
\[xy + 2y - y - 3x - 6 + 3 = 0\]
\[xy + y - 3x - 3 = 0\]

И, наконец, для стороны CA:
\(C(x, y)\) и \(A(0, 7)\)

\[y - 7 = \frac{y - 7}{x - 0}(x - 0)\]
\[y - 7 = \frac{y - 7}{x}(x)\]
\[xy - 7x - xy + 7 = 0\]
\[- 7x + 7 = 0\]
\[x = 1\]

Подставив это значение обратно в уравнение для стороны BC, мы можем найти значение \(y\):

\[1y + y - 3 - 3 = 0\]
\[2y = 6\]
\[y = 3\]

Таким образом, третья вершина \(C\) треугольника имеет координаты \(C(1, 3)\).

Теперь нарисуем данный треугольник:

   B(-2, 3)

    /\

   /  \

  /    \

A(0, 7) C(1, 3)