Какие утверждения относительно функции общих издержек TC(Q)=Q2+2Q+3 являются верными? Верными являются только

Огонек

39

В решении данной задачи нам нужно проверить, какие утверждения относительно функции общих издержек \(TC(Q)=Q^2+2Q+3\) являются верными. Возьмем каждое утверждение по очереди и проверим его.

Утверждение 1: Средние издержки производства \(AC(Q)\) увеличиваются с ростом \(Q\) от 0 до +∞.

Средние издержки производства (\(AC(Q)\)) можно найти, разделив общие издержки (\(TC(Q)\)) на количество продукции (\(Q\)):
\[AC(Q) = \frac{TC(Q)}{Q}\]

Для данной функции общих издержек, можно выразить средние издержки производства следующим образом:
\[AC(Q) = \frac{Q^2+2Q+3}{Q}\]

Теперь, чтобы узнать, как изменяются средние издержки производства с ростом \(Q\), будем рассматривать предел функции \(AC(Q)\) при \(Q\to+\infty\). Раскроем выражение и выведем предел:
\[\lim_{{Q\to+\infty}} AC(Q) = \lim_{{Q\to+\infty}} \frac{Q^2+2Q+3}{Q} = \lim_{{Q\to+\infty}} \frac{Q(Q+2)+3}{Q}\]
\[\lim_{{Q\to+\infty}} AC(Q) = \lim_{{Q\to+\infty}} \left(1+\frac{2}{Q}+\frac{3}{Q^2}\right).\]

Заметим, что в пределе, при стремлении \(Q\) к положительной бесконечности, слагаемые \(\frac{2}{Q}\) и \(\frac{3}{Q^2}\) стремятся к нулю, так как \(Q\) растет быстрее, чем оба этих слагаемых. Таким образом, мы получаем:
\[\lim_{{Q\to+\infty}} AC(Q) = 1 + 0 + 0 = 1.\]

Итак, предел функции \(AC(Q)\) при \(Q\to+\infty\) равен 1. Это означает, что средние издержки производства \(AC(Q)\) при увеличении \(Q\) от 0 до +∞ увеличиваются и стремятся к значению 1. Поэтому утверждение 1 является верным.

Утверждение 2: Средние переменные издержки производства \(AVC(Q)\) также увеличиваются с ростом \(Q\) от 0 до +∞.

Средние переменные издержки производства (\(AVC(Q)\)) можно найти, разделив переменные издержки (\(VC(Q)\)) на количество продукции (\(Q\)):
\[AVC(Q) = \frac{VC(Q)}{Q}\]

Для данной функции общих издержек, переменные издержки (\(VC(Q)\)) можно найти, отнимая постоянные издержки (\(FC\)) от общих издержек (\(TC(Q)\)):
\[VC(Q) = TC(Q) - FC = Q^2+2Q+3 - 3 = Q^2+2Q.\]

Теперь можем найти средние переменные издержки производства:
\[AVC(Q) = \frac{Q^2+2Q}{Q} = Q+2.\]

Как видим, средние переменные издержки производства являются линейной функцией, не зависящей от \(Q\). Постоянное значение \(2\) говорит о том, что средние переменные издержки производства не меняются при росте \(Q\) от 0 до +∞. Поэтому утверждение 2 является неверным.

Итак, единственное верное утверждение из представленных - утверждение 1: средние издержки производства \(AC(Q)\) увеличиваются с ростом \(Q\) от 0 до +∞.