Какие значения имеют диагонали параллелограмма, если его смежные стороны равны 7 см и 2√3 см, а угол между ними равен

Морской_Искатель

53

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства параллелограмма и теорему косинусов.

Пусть AB и BC - смежные стороны параллелограмма, а AC и BD - его диагонали. Также, пусть угол между смежными сторонами равен 30 градусов.

Из условия задачи известны длины смежных сторон: AB = 7 см и BC = 2√3 см.

Сначала найдем длину диагонали AC, используя теорему косинусов. В параллелограмме углы между смежными сторонами равны, поэтому угол между диагоналю AC и стороной AB также равен 30 градусов.

Теорема косинусов гласит, что для треугольника со сторонами a, b и углом α между ними, длина третьей стороны c определяется как:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)\]

Заменим в этой формуле a и b на значения сторон AB и BC, а угол α - на 30 градусов:

\[AC^2 = (7 \, \text{см})^2 + (2\sqrt{3} \, \text{см})^2 - 2 \cdot 7 \, \text{см} \cdot 2\sqrt{3} \, \text{см} \cdot \cos(30^\circ)\]

\[AC^2 = 49 \, \text{см}^2 + 12 \, \text{см} + 84 \, \text{см}^2 - 2 \cdot 7 \, \text{см} \cdot 2\sqrt{3} \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[AC^2 = 61 \, \text{см}^2 + 168 \, \text{см}^2 - 14 \, \text{см} \cdot \sqrt{3} \, \text{см}\]

\[AC^2 = 229 \, \text{см}^2 - 14 \, \text{см} \cdot \sqrt{3} \, \text{см}\]

\[AC^2 \approx 175.06 \, \text{см}^2\]

Теперь найдем длину диагонали BD, которая по свойствам параллелограмма равна диагонали AC.

Таким образом, значение диагонали BD равно \(\sqrt{175.06} \, \text{см} \approx 13.23 \, \text{см}\).

Чтобы найти площадь параллелограмма, можно использовать формулу:

\[S = AB \cdot BD \cdot \sin(\alpha) \]

где AB - длина одной из сторон параллелограмма, BD - длина одной из диагоналей, а α - угол между ними.

Подставляя известные значения в эту формулу, получаем:

\[S = 7 \, \text{см} \cdot 13.23 \, \text{см} \cdot \sin(30^\circ) \]

\[S = 92.61 \, \text{см}^2 \cdot 0.5 = 46.31 \, \text{см}^2\]

Таким образом, значения диагоналей параллелограмма равны примерно 13.23 см и площадь параллелограмма составляет примерно 46.31 квадратных сантиметра.