Какие значения имеют третий и пятый члены убывающей геометрической прогрессии, если они равны 256 и 1/4? Необходимо

Luka

58

Для начала, нам нужно понять, каким образом строится убывающая геометрическая прогрессия. Убывающая геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член меньше предыдущего на определенное число, называемое знаменателем прогрессии.

Общая формула для нахождения членов убывающей геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

где \(\displaystyle a_n\) - \(n\)-й член прогрессии,
\(\displaystyle a_1\) - первый член прогрессии,
\(\displaystyle q\) - знаменатель прогрессии,
\(\displaystyle n\) - номер члена прогрессии.

У нас есть значение третьего члена прогрессии - 256, и значение пятого члена прогрессии - \(\displaystyle \frac{1}{4}\). Мы должны найти значение четвертого члена прогрессии.

Пусть \(\displaystyle a_1\) - первый член прогрессии, \(\displaystyle q\) - знаменатель прогрессии,
\(\displaystyle a_3\) - третий член прогрессии и \(\displaystyle a_5\) - пятый член прогрессии.

Мы знаем, что \(\displaystyle a_3 = 256\) и \(\displaystyle a_5 = \frac{1}{4}\).

Чтобы найти \(\displaystyle a_1\) и \(\displaystyle q\), мы можем использовать систему уравнений, используя значения \(\displaystyle a_3\) и \(\displaystyle a_5\).

Начнем с уравнения, используя третий член прогрессии:

\(\displaystyle a_3 = a_1 \cdot q^{3-1}\)

\(\displaystyle 256 = a_1 \cdot q^2\) (1)

Теперь воспользуемся уравнением, используя пятый член прогрессии:

\(\displaystyle a_5 = a_1 \cdot q^{5-1}\)

\(\displaystyle \frac{1}{4} = a_1 \cdot q^4\) (2)

У нас получилась система из двух уравнений с двумя неизвестными \(\displaystyle a_1\) и \(\displaystyle q\). Мы можем решить эту систему методом подстановки или исключения.

Воспользуемся методом подстановки. Решим уравнение (1) относительно \(\displaystyle a_1\):

\(\displaystyle a_1 = \frac{256}{q^2}\)

Теперь подставим это значение в уравнение (2) и решим его относительно \(\displaystyle q\):

\(\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{256}{q^2} \cdot q^4\)

\(\displaystyle \frac{1}{4} = 256q^2\)

\(\displaystyle 1 = 1024q^2\)

\(\displaystyle q^2 = \frac{1}{1024}\)

\(\displaystyle q = \pm \sqrt{\frac{1}{1024}}\)

Так как у нас убывающая прогрессия, нам нужно выбрать отрицательное значение \(\displaystyle q\), чтобы числа уменьшались.

Таким образом, \(\displaystyle q = -\frac{1}{32}\).

Теперь, чтобы найти \(\displaystyle a_1\), подставим значение \(\displaystyle q\) в уравнение (1):

\(\displaystyle a_1 = \frac{256}{\left( -\frac{1}{32}\right)^2} = \frac{256}{\frac{1}{1024}} = \frac{256 \cdot 1024}{1} = 262144\)

Итак, первый член прогрессии \(\displaystyle a_1 = 262144\), а знаменатель прогрессии \(\displaystyle q = -\frac{1}{32}\).

Наконец, чтобы найти значение четвертого члена прогрессии \(\displaystyle a_4\), можем использовать формулу прогрессии, подставив в нее значения \(\displaystyle a_1\) и \(\displaystyle q\):

\(\displaystyle a_4 = a_1 \cdot q^{4-1}\)

\(\displaystyle a_4 = 262144 \cdot \left( -\frac{1}{32}\right)^3\)

\(\displaystyle a_4 = 262144 \cdot \left( -\frac{1}{32}\right) \cdot \left( -\frac{1}{32}\right) \cdot \left( -\frac{1}{32}\right)\)

\(\displaystyle a_4 = 262144 \cdot \frac{1}{32768} = 8\)

Таким образом, четвертый член прогрессии \(\displaystyle a_4 = 8\).

Итак, третий член прогрессии \(\displaystyle a_3 = 256\), пятый член прогрессии \(\displaystyle a_5 = \frac{1}{4}\), и четвертый член прогрессии \(\displaystyle a_4 = 8\).