Какие значения ширины (b) и высоты (h) поперечного прямоугольного сечения двухопорной балки, если известно, что сила

Eva

26

Чтобы найти значения ширины (b) и высоты (h) поперечного прямоугольного сечения двухопорной балки, учитывая известные данные о силе нагрузки (F), длине балки (l) и допустимом напряжении изгиба ([б]), мы можем использовать формулу изгибного напряжения для прямоугольного сечения:

\[ \sigma_{max} = \dfrac{M_{max} \cdot c}{I} \]

где
\(\sigma_{max}\) - максимальное напряжение изгиба
\(M_{max}\) - максимальный момент силы
\(c\) - расстояние от центра сечения до самой удаленной грани
\(I\) - момент инерции поперечного сечения

Максимальный момент силы может быть определен по формуле:

\[ M_{max} = \dfrac{F \cdot l}{4} \]

Момент инерции поперечного сечения для прямоугольника определяется по следующей формуле:

\[ I = \dfrac{b \cdot h^3}{12} \]

Теперь мы можем использовать эти формулы, чтобы решить задачу.

1. Найдем максимальный момент силы ( \(M\) ):
\[ M_{max} = \dfrac{F \cdot l}{4} = \dfrac{110 \, \text{кН} \cdot 2,8 \, \text{м}}{4} = 77 \, \text{кН} \cdot \text{м} = 77 \, \text{кНм} \]

2. Найдем момент инерции \( I \):
\[ I = \dfrac{b \cdot h^3}{12} \]

Поскольку у нас есть два неизвестных значения (\( b \) и \( h \)), нам понадобится еще одно уравнение, чтобы найти решение. Например, мы можем использовать условие допустимого напряжения изгиба (\([б]\)).

3. Запишем формулу для допустимого напряжения изгиба:
\[ [б] = \dfrac{M_{max} \cdot c}{I} \]

Мы знаем, что допустимое напряжение изгиба (\([б]\)) составляет 160 МПа (Мегапаскал). Здесь нам также потребуется значение \( c \), которое зависит от выбранной формы сечения балки. Предположим, что \( c = \frac{h}{2} \) для прямоугольного сечения. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно неизвестных \( b \) и \( h \):

\[ 160 \, \text{МПа} = \dfrac{77 \, \text{кНм} \cdot \frac{h}{2}}{\dfrac{b \cdot h^3}{12}} \]

4. Упростим уравнение:

\[ 160 \, \text{МПа} \cdot \dfrac{b \cdot h^3}{12} = 77 \, \text{кНм} \cdot \dfrac{h}{2} \]

\[ 160 \cdot 10^6 \cdot b \cdot h^3 = 77 \cdot 10^3 \cdot 6 \cdot h \]

\[ 20 \cdot b \cdot h^2 = 11 \, \text{кН} \]

5. Разделим обе части уравнения на 20, чтобы избавиться от коэффициента перед \( b \):

\[ b \cdot h^2 = \dfrac{11 \, \text{кН}}{20} \]

\[ b \cdot h^2 = 0,55 \, \text{кН} \]

Таким образом, мы получаем уравнение, которое связывает \( b \) и \( h \):
\[ b \cdot h^2 = 0,55 \, \text{кН} \]

Решение этого уравнения будет давать нам значения \( b \) и \( h \).

Полученное уравнение --- это квадратное уравнение относительно \( h \). Для его решения мы можем использовать квадратное уравнение вида \( ah^2 +bh + c = 0 \), где \( a = b \) и \( c = -0,55 \, \text{кН} \).

6. Решим квадратное уравнение:

\[ ah^2 +bh + c = 0 \]

\[ bh^2 +bh - 0,55 \, \text{кН} = 0 \]

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение. Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ h = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ h = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2b} \]

Подставим соответствующие значения:

\[ h = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot b \cdot (-0,55)}}{2b} \]

7. Возьмем одно из решений:

\[ h = \dfrac{-1 + \sqrt{1 + 2,2b}}{2b} \]

8. Теперь решим уравнение для \( b \):

\[ b \cdot (\dfrac{-1 + \sqrt{1 + 2,2b}}{2b})^2 = 0,55 \, \text{кН} \]

9. Упростим уравнение:

\[ (\dfrac{-1 + \sqrt{1 + 2,2b}}{2})^2 = \dfrac{0,55}{b} \]

10. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ \dfrac{(-1 + \sqrt{1 + 2,2b})^2}{4} = \dfrac{0,55}{b} \]

11. Упростим дробь слева:

\[ \dfrac{1 - 2\sqrt{1 + 2,2b} + (1 + 2,2b)}{4} = \dfrac{0,55}{b} \]

\[ \dfrac{2 + 2,2b - 2\sqrt{1 + 2,2b}}{4} = \dfrac{0,55}{b} \]

12. Упростим уравнение:

\[ \dfrac{0,55b}{4} = \dfrac{2 + 2,2b - 2\sqrt{1 + 2,2b}}{4} \]

Умножим обе части уравнения на 4:

\[ 0,55b = 2 + 2,2b - 2\sqrt{1 + 2,2b} \]

\[ 2\sqrt{1 + 2,2b} = 2,2b - 0,55b + 2 \]

\[ 2\sqrt{1 + 2,2b} = 1,65b + 2 \]

13. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ 4(1 + 2,2b) = (1,65b + 2)^2 \]

\[ 4 + 8,8b = 2,7225b^2 + 6,6b + 4 \]

\[ 2,7225b^2 - 2,2b - 4,8 = 0 \]

14. Решим квадратное уравнение:

\[ b = \dfrac{-(-2,2) \pm \sqrt{(-2,2)^2 - 4 \cdot 2,7225 \cdot -4,8}}{2 \cdot 2,7225} \]

\[ b = \dfrac{2,2 \pm \sqrt{4,84 + 41,664}}{5,445} \]

\[ b = \dfrac{2,2 \pm \sqrt{46,504}}{5,445} \]

\[ b = \dfrac{2,2 \pm 6,819}{5,445} \]

15. Найдем два возможных значения для \( b \):

\[ b_1 = \dfrac{2,2 + 6,819}{5,445} \approx 1,556 \, \text{м} \]

\[ b_2 = \dfrac{2,2 - 6,819}{5,445} \approx -0,874 \, \text{м} \]

Мы получили два возможных значения для \( b \): \( b_1 = 1,556 \, \text{м} \) и \( b_2 \approx -0,874 \, \text{м} \). Заметим, что \( b \) не может быть отрицательным, поэтому \( b_2 \) не является допустимым значением.

Таким образом, получаем окончательный ответ: ширина ( \( b \) ) поперечного прямоугольного сечения двухопорной балки равна 1,556 метра. Высоту ( \( h \) ) можно найти, подставив это значение \( b \) в любое из полученных уравнений.