Какие значения x соответствуют точкам минимума функции f(x)=1/3x³-9x-5? 1) -3 2) 9 3) 3 4) не указано

Огонек

44

Для определения значений x, соответствующих точкам минимума функции \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 9x - 5\), мы должны найти точки, в которых производная функции равна нулю и вторая производная больше нуля.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(f"(x)\) при помощи правила дифференцирования степенной функции:

\[f"(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 9 = x^2 - 9\]

Шаг 2: Теперь найдем вторую производную функции \(f""(x)\) при помощи правила дифференцирования:

\[f""(x) = 2x\]

Шаг 3: Найдем значения x, при которых производная \(f"(x)\) равна нулю:

\[x^2 - 9 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения, мы должны привести его к виду:

\[(x - 3)(x + 3) = 0\]

Таким образом, получаем два значения: \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\).

Шаг 4: Теперь проверим знак второй производной \(f""(x)\) когда \(x = -3\) и \(x = 3\).

Подставим эти значения в \(f""(x)\):

\[f""(-3) = 2 \cdot (-3) = -6\]
\[f""(3) = 2 \cdot 3 = 6\]

Таким образом, \(f""(-3) < 0\) и \(f""(3) > 0\).

Шаг 5: Итак, по критерию второй производной, мы видим, что точка \((-3, f(-3))\) является точкой максимума, а точка \((3, f(3))\) является точкой минимума функции \(f(x)\).

Ответ: Значения x, соответствующие точкам минимума функции \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 9x - 5\), это 3) 3 и 1) -3.