Какие значения x удовлетворяют условию у (х) < 0 для функции у(х) = 3 - х/2х + 1? Подскажите, если кто-то знает

Папоротник

29

Давайте начнем с того, что мы должны найти значения x, при которых вторая производная функции у(х) отрицательна: \(у""(х) < 0\). Для этого нам необходимо вычислить производные функции по очереди и решить полученное неравенство.

Давайте начнем с вычисления первой производной функции у(х). Воспользуемся правилом дифференцирования для функции суммы и разности, а также правилом дифференцирования для функции деления:
\[у"(х) = \frac{d}{dx}(3) - \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2x} + 1\right)\]

Первое слагаемое равно нулю, так как производная постоянной равна нулю. Во втором слагаемом у нас есть два дробных выражения. По правилу дифференцирования для функции деления, производная функции \(\frac{f(x)}{g(x)}\) равна \(\frac{f"(x)g(x) - f(x)g"(x)}{(g(x))^{2}}\). Подставим значения для нашей функции:
\[у"(х) = -\frac{1}{2x^{2}} - 0 = -\frac{1}{2x^{2}}\]

Теперь перейдем ко второй производной функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования для функции деления еще раз:
\[у""(х) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right)\]
\[у""(х) = -\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x^{2}}\right) = -\frac{-2}{2x^{3}} = \frac{1}{x^{3}}\]

Теперь, когда мы вычислили вторую производную, мы можем решить неравенство \(\frac{1}{x^{3}} < 0\).

Чтобы понять значения x, при которых выполняется это неравенство, рассмотрим знак функции \(\frac{1}{x^{3}}\) на интервалах между корнями (\(x\) такие, что \(\frac{1}{x^{3}} = 0\)). Давайте рассмотрим три случая:

1. Когда \(x\) больше нуля (\(x > 0\)): В этом случае \(\frac{1}{x^{3}}\) будет положительным, так как положительное число возводится в четную степень. Следовательно, неравенство не выполняется.

2. Когда \(x\) равно нулю (\(x = 0\)): Число \(x = 0\) не удовлетворяет исходному условию, так как функция не определена в нуле.

3. Когда \(x\) меньше нуля (\(x < 0\)): В этом случае \(\frac{1}{x^{3}}\) будет отрицательным, так как отрицательное число возводится в нечетную степень. Таким образом, неравенство выполняется, и все значения \(x\), которые меньше нуля, удовлетворяют условию задачи.

Таким образом, значения \(x\), которые удовлетворяют условию \(у""(х) < 0\), будут отрицательными числами (\(x < 0\)).