Каким будет решение уравнения 2арксинус(2x) - арксинус(x) - 6 = 0? Выберите правильный вариант ответа: 1. -синус(1,5

  • 13
Каким будет решение уравнения 2арксинус(2x) - арксинус(x) - 6 = 0? Выберите правильный вариант ответа: 1. -синус(1,5) 2. -синус(1,2) 3. -синус(2) 4. -синус(1,3)
Kosmicheskaya_Charodeyka
26
Давайте решим это уравнение шаг за шагом.

У нас дано уравнение:
\[2 \arcsin(2x) - \arcsin(x) - 6 = 0\]

Для решения этого уравнения мы воспользуемся следующими свойствами функции арксинус:

1. \(\arcsin(\sin(\theta)) = \theta\) (для \(\theta\) в диапазоне между \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\))
2. \(\sin(\arcsin(x)) = x\) (для \(x\) в диапазоне между \(-1\) и \(1\))

Давайте применим эти свойства к уравнению:

1. Первым шагом возьмем арксинус от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от функции арксинус:

\[2\arcsin(2x) = \arcsin(x) + 6 \]

2. Затем применим второе свойство, получив:

\[\sin(2\arcsin(2x)) = \sin(\arcsin(x) + 6)\]

3. Теперь мы можем использовать тригонометрический двойной угол для \(\sin(2\theta)\):

\[2\sin(\arcsin(2x))\cos(\arcsin(2x)) = \sin(\arcsin(x) + 6)\]

4. Применим первое свойство для избавления от функции арксинус:

\[2(2x)\sqrt{1-(2x)^2} = \sin(\arcsin(x) + 6)\]

5. Далее, применим второе свойство еще раз:

\[4x\sqrt{1-4x^2} = \sin(x+6)\]

6. Возведем обе части уравнения в квадрат для упрощения:

\[16x^2(1-4x^2) = \sin^2(x+6)\]

7. Пользуясь формулой для \(\sin^2(\theta)\):

\[16x^2(1-4x^2) = \frac{1-\cos(2(x+6))}{2}\]

8. Раскроем косинус двойного угла:

\[16x^2(1-4x^2) = \frac{1-\cos^2(2(x+6))}{2}\]

\[16x^2(1-4x^2) = \frac{1-\frac{1+\cos(4(x+6))}{2}}{2}\]

\[16x^2(1-4x^2) = \frac{2-\cos(4(x+6))}{4}\]

9. Упростим выражение, переместив все в одну часть уравнения:

\[16x^2(1-4x^2) - \frac{2-\cos(4(x+6))}{4} = 0\]

10. Перемножим и упростим:

\[64x^4 - 64x^2 + 1 - \frac{2-\cos(4(x+6))}{4} = 0\]

11. Приведем к общему знаменателю:

\[256x^4 - 256x^2 + 4 - (2-\cos(4(x+6))) = 0\]

12. После упрощения:

\[256x^4 - 256x^2 + \cos(4(x+6)) + 2 = 0\]

К сожалению, дальнейшее упрощение этого уравнения достаточно сложно и невозможно выполнить аналитически. Таким образом, нам нужно использовать численные методы, чтобы найти приближенное решение.

Варианты ответа, предложенные в задаче, связаны с функцией синус и не соответствуют решению данного уравнения. В связи с этим, ответ на данную задачу невозможно определить однозначно. Мы не можем выбрать правильный вариант из предложенных.