Каким образом можно описать логарифмическую функцию с точки зрения ее монотонности на всей области определения?

Laki

63

Логарифмическая функция определяется как \(f(x) = \log_a(x)\), где \(a\) - база логарифма, а \(x > 0\) - аргумент функции.

Давайте разберемся в монотонности логарифмической функции. Монотонность функции означает, что она либо возрастает на всей области определения, либо убывает на всей области определения, либо сохраняет постоянное значение.

Для начала, рассмотрим случай, когда база логарифма \(a\) больше 1. В этом случае логарифмическая функция возрастает по мере увеличения аргумента \(x\). Для понимания этого, рассмотрим пример:

Пусть \(a = 2\), тогда \(f(x) = \log_2(x)\). Когда \(x\) увеличивается, значение функции \(f(x)\) также увеличивается. Например, \(f(1) = 0\), \(f(2) = 1\), \(f(4) = 2\). Это говорит о том, что логарифмическая функция возрастает на всей области определения, когда база логарифма \(a > 1\).

Теперь рассмотрим случай, когда база логарифма \(a\) находится в интервале между 0 и 1, то есть \(0 < a < 1\). В этом случае логарифмическая функция убывает по мере увеличения аргумента \(x\). Например, если \(a = \frac{1}{2}\), тогда \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x)\). Когда \(x\) увеличивается, значение функции \(f(x)\) уменьшается. Например, \(f(1) = 0\), \(f(2) = -1\), \(f(4) = -2\). Это говорит о том, что логарифмическая функция убывает на всей области определения, когда база логарифма \(0 < a < 1\).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что логарифмическая функция монотонна на всей области определения в зависимости от значения базы логарифма \(a\). Если база логарифма \(a > 1\), то функция возрастает. Если \(0 < a < 1\), то функция убывает.