Каким образом можно умножить одночлен на многочлен? Как выполняется умножение одного многочлена на другой многочлен?

Мила_2177

55

Для начала давайте разберемся, как умножить одночлен на многочлен. Чтобы выполнить это действие, мы должны каждый член одночлена перемножить на каждый член многочлена и затем сложить полученные произведения.

Допустим, у нас есть одночлен \(a\) и многочлен \(b\). Он записан в виде:

\[a \cdot b = (a_1x^n + a_2x^{n-1} + \ldots + a_n) \cdot (b_1x^m + b_2x^{m-1} + \ldots + b_m)\]

Для умножения одночлена на многочлен для каждого члена многочлена мы должны выполнить следующие шаги:

1. Возьмите первый член многочлена и умножьте его на все члены одночлена:

\[(a_1x^n) \cdot (b_1x^m + b_2x^{m-1} + \ldots + b_m)\]

2. Затем умножьте второй член многочлена на все члены одночлена:

\[(a_2x^{n-1}) \cdot (b_1x^m + b_2x^{m-1} + \ldots + b_m)\]

3. Продолжайте этот процесс, умножая каждый член многочлена на все члены одночлена.

4. После умножения каждого члена многочлена на одночлен, сложите все полученные произведения.

Проиллюстрируем это на примере:

Пусть у нас есть одночлен \(3x\) и многочлен \(2x^2 + 4x + 1\).

Умножим \(3x\) на каждый член многочлена:

\[3x \cdot (2x^2 + 4x + 1) = 3x \cdot 2x^2 + 3x \cdot 4x + 3x \cdot 1\]

После умножения и сокращения получим:

\[6x^3 + 12x^2 + 3x\]

Теперь обратимся к умножению многочлена на многочлен. В этом случае мы также должны каждый член одного многочлена перемножить на каждый член другого многочлена и сложить полученные произведения.

Допустим, у нас есть многочлены \(a\) и \(b\). Они записаны в виде:

\[a \cdot b = (a_1x^n + a_2x^{n-1} + \ldots + a_n) \cdot (b_1x^m + b_2x^{m-1} + \ldots + b_m)\]

Для умножения многочленов мы должны выполнить следующие шаги:

1. Возьмите первый член первого многочлена и умножьте его на каждый член второго многочлена:

\[(a_1x^n) \cdot (b_1x^m + b_2x^{m-1} + \ldots + b_m)\]

2. Затем умножьте второй член первого многочлена на каждый член второго многочлена:

\[(a_2x^{n-1}) \cdot (b_1x^m + b_2x^{m-1} + \ldots + b_m)\]

3. Продолжайте этот процесс, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

4. После умножения каждого члена первого многочлена на второй многочлен, сложите все полученные произведения.

Проиллюстрируем этот процесс на примере:

Пусть у нас есть многочлены \(2x + 1\) и \(3x - 2\).

Умножим \(2x + 1\) на \(3x - 2\):

\[(2x + 1) \cdot (3x - 2) = (2x \cdot 3x) + (2x \cdot -2) + (1 \cdot 3x) + (1 \cdot -2)\]

После умножения и сокращения получим:

\[6x^2 - 4x + 3x - 2 = 6x^2 - x - 2\]

Наконец, чтобы разложить многочлены на множители, необходимо найти их общий множитель. Если общий множитель найден, то мы можем разделить многочлен на этот множитель, используя деление с остатком или метод долгого деления.

Например, давайте разложим многочлен \(4x^2 - 9\) на множители. Мы заметим, что это является разностью квадратов, поэтому мы можем использовать формулу разности квадратов:

\[4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)\]

Таким образом, мы разложили многочлен \(4x^2 - 9\) на множители.